Вопросы для самоконтроля
6. Кинетическая энергия в релятивистской динамике определяется соотношением
.
(11)
Показать, что при
7. В каком случае в релятивистской динамике ускорение частицы будет направлено параллельно действующей силы? (Проанализировать для этого случая уравнения (6) и (7)).
8. Доказать, что масса индивидуального фотона равна нулю. Чему равна масса двух идентичных фотонов, летящих навстречу друг к другу? (Воспользоваться уравнением (9)).
9. В чем причина
невыполнения
-
закона Ньютона в релятивистской
динамике?
10. Получить уравнение (7) из формулы (6).
11. Какова зависимость релятивистского импульса от кинетической энергии?
а)
;
б)
;
в)
.
Укажите правильное утверждение.
Примеры решения задач
Пример 5.
Частица массы m
в момент времени t=0
начинает двигаться под действием
постоянной силы
.
Найти скорость частицы и пройденный ею
путь в зависимости от времени
.
Р е ш е н и е.Интегрируя
уравнение движения (6) и исключая
постоянную интегрирования из условия
при
,
получим
или
.
Интегрируя последнее
соотношение с учетом того, что
и
при , найдем
.
Пример 6. Электрон
движется по окружности радиуса
в однородном магнитном поле с индукцией
мТл.
Найти его скорость и период обращения.
Р е ш е н и е. Нетрудно
убедиться, что для решения этой задачи
классическая физика не годится. Если
воспользоваться классическим решением,
приравняв силу Лоренца
произведению массы электрона на величину
центростремительного ускорения
электрона
то после подстановки численных значений
получим скорость электрона
,
т.е. величину, превышающую скорость
света в вакууме. Следовательно, необходимо
использовать формулы релятивистской
динамики. Поскольку в рассматриваемой
задаче величина скорости электрона
постоянна, то уравнение (6) может быть
записано в виде
или
(12)
откуда получим
.
Период обращения
электрона найдем с помощью соотношения
нс.
Последнее соотношение непосредственно следует из формулы (12).
Пример 7.
Две частицы, каждая массы
летят навстречу друг другу с одинаковой
скоростью
относительно лабораторной системы
отсчета. Происходит абсолютно неупругое
соударение, в результате чего образуется
частица с массой
Найти величину скорости
.
Сравнить интерпретацию такого неупругого
соударения в релятивистской механике
и в классической физике.
Р е ш е н и е. Поскольку суммарный импульс частиц равен нулю, образовавшаяся частица будет находиться в покое. Тогда из закона сохранения энергии получим
откуда
В нерелятивистском
случае
.
Это соотношение можно переписать как
Видно, что
нерелятивистская кинетическая энергия
соударяющихся частиц превращается
после соударения в теплоту
,
которая на языке классической физики
трансформируется во внутреннюю энергию
образующегося в результате соударения
тела. Величина этого тепла
пропорциональна величине дефекта масс
.
Ясно, что полная энергия образующегося
тела
содержит в себе в качестве одной из
составляющей эту внутреннюю энергию.
Таким образом, в релятивистской динамике
внутренняя энергия тела не выделяется
в особый вид энергии, как это делается
в классической физике, где имеет место
закон сохранения механической энергии
и закон сохранения энергии как первое
начало термодинамики, где фигурирует
особый вид энергии – внутренняя.
Пример 8. При взаимодействии электрона и позитрона происходит их аннигиляция: образование двух фотонов. Проанализировать этот процесс с помощью законов сохранения энергии, импульса и массы.
Р е ш е н и е. Сначала покажем, что при аннигиляции невозможно образование одного фотона. Дело в том, что если бы это произошло, то нарушился бы закон сохранения импульса (ЗСИ). Действительно, будем рассматривать этот процесс в системе центра масс электрона и позитрона. В этой системе суммарный импульс электрона и позитрона равен нулю. Тогда по ЗСИ должен быть равен нулю и импульс фотона. Но это невозможно. По закону сохранения у фотона имеется энергия
,
где
–
частота фотона,
и
– энергии электрона и позитрона. По
формуле (10) для фотона, у которого скорость
,
имеется импульс
.
Таким образом, необходимо образование
двух фотонов, летящих в противоположные
стороны и имеющие одинаковые по величине
энергии и импульсы, чтобы суммарный
импульс этих фотонов был бы равен нулю.
Очень интересная
ситуация имеет место с законом сохранения
массы. Один изолированный фотон не имеет
массы, как было установлено выше. А вот
два идентичных фотона, летящих в
противоположные стороны и имеющие
импульс
,
согласно формуле (9) имеют массу
,
что и позволяет выполняться при аннигиляции закону сохранения массы. Ситуация совершенно невозможная в классической механике, где масса аддитивна.
Пример 9. Получим правильный ответ на вопрос 11 из «Вопросов для самоконтроля».
Р е ш е н и е. Из формулы для кинетической энергии (11) получим
Подставляя эти выражения в формулу (5) для релятивистского импульса, получим
.