3. Пример выполнения работы

При выполнении работы всегда изучается какой-то колебательный процесс. В обзорной части следует указать порядки величин необходимых для описания процесса. Они могут быть взяты из базового учебника, сборников задач или определены самостоятельно при выполнении лабораторной работы.

Для построения графиков процессов используем их аналитическое задание, т.е. функцию х(t). Продифференцировав ее, получаем функцию V (t) – скорость. Строим зависимость V(x) – фазовую траекторию. Для построения графиков данные удобно представлять в виде таблицы

t	X(t)	V(t)
0,1	0,5	1,7

Если требуется, таблицу расширяем, включая ускорения (это необходимо при построении соответствующих резонансных кривых).

Фаазовая траектория задается уравнением эллипса (109).

При построении спектра колебаний следует руководствоваться разделом 2.1.19. Спектр затухающих колебаний строим по формулам 124, 125. Примерный вид этих спектров дан на рис. 37 -40.

Предпочтительно масштаб графиков выбирать таким, чтобы они умещались на формате А4.

При изучении затухающих колебаний определите коэффициенты сопротивления и затухания, добротность, логарифмический коэффициент затухания.

В заданиях имеются темы исследовательского направления. Разберем более подробно одну из них.

Рассмотрим следующую задачу (тема 2).

Найти частоту колебаний осциллятора, если его амплитуда А = 2 м, ускорение при t₁ = 5 c равно a₁ = 10 м/с². Начальная фаза π/6 (колебания описываются функцией y = Аcos(₀t + )).Рассмотреть незатухающие и затухающие колебания с коэффициентом затухания β = 0,01 с^-1.

1. Рассмотрим незатухающие колебания

Запишем общее уравнение колебаний осциллятора:

x = A cos(ω₀ t + φ).

Найдем выражения для мгновенных скоростей и ускорений:

x^’ = υ = -Aω₀ sin(ω₀ t + φ),

x^’’ = a = -Aω₀ ² cos(ω₀ t + φ).

Имеем:

a₁ = -Aω₀ ² cos(ω₀ t₁ + φ).

Это уравнение с одной неизвестной ω₀, однако, оно трансцендентное и выразить неизвестную из данного уравнения в явном виде нельзя. Решение задачи можно провести только графическим способом или методом итераций.

Преобразуем данное уравнение к виду:

-10/ω₀ ² = A cos(ω₀ t₁ +).

Y₁ = -a₁/ω₀ ² Y₁ = -10/ω₀ ²

Y₂ = A cos(ω₀ t + φ)  Y₂ = 2cos(5ω₀ + π/6)

ω > 0 ω > 0

Построим графики данных функций Y₁ (ω₀) и Y₂ (ω₀) и найдем координату ω₀ их точки пересечения. Это и будет искомое решение нашей задачи.

Рисуем графики и составляем таблицу корней трансцендентного уравнения по точкам пересечения графиков

ω	у1	у2	Погрешность совпадения
2,85	-1,23	-1,19	0,04
3,25	-0,95	-0,97	-0,02
4,05	-0,61	-0,69	-0,08
4,55	-0,48	-0,57	-0,09
5,25	-0,36	-0,14	0.22
5,85	-0,29	-0,14	0,15

2. Рассмотрим затухающие колебания с коэффициентом затухания β = 0,01 с^-1.

Ход решения аналогичен ходу решения первой задачи.

X = e^-βt A cos(ωt + φ),x^’ = -β e^-βt A cos(ωt + φ) – e^-βt Aω sin(ωt + φ), x^’ = -e^-βt A (β cos (ωt + φ) + ω sin(ωt + φ)),

x’ = -A( β² + ω²)^0,5 e^-βtcos (ωt + φ + α),

где sinα = , cos α = . Однако β² + ω² = = ω₀², поэтому x^’ = -Aω₀ e^-βt cos(ωt + φ – α).

Отсюда ускорение a = x’’ = -βAω₀ e^-βt cos(ωt + φ – α) –

ω A ω₀ e^-βt sin(ωt + φ – α) = Aω₀ e^-βt [ β cos(ωt + φ – α) +

+ ω sin(ωt + φ – α) ] = Aω₀ e^-βt( β² + ω²)^0,5 cos (ωt + φ – 2α)=

= Aω₀² e^-βt cos(ωt + φ – 2α).

Разбиваем получившиеся выражения на две функции

cos(ω(₀) t + φ – 2α ()) = a e^βt /. A ω₀²

Задача свелась к предыдущей, в которой

sinα = ω/₀ ; cosα = β/₀ .

Поскольку в данной задаче t = const, то e^-βt = const и затухание колебаний на графике x = A e^-βt cos(ωt + φ) отразиться не может при любом β (собственно и сами графики – это не графики колебаний системы, а графики зависимости рассматриваемых функций от ω).

Рисуем графики и составляем таблицу корней трансцендентного уравнения по точкам совпадения графиков

ω	у1	у2	Погрешность совпадения
1,7	-1,73	-1,75	0.02
1,9	-1,39	-1,57	0,18
2,8	-0,63	-0,72	0,36
3,3	-0,47	-0,48	0,01
4	-0,31	-0,2	-0,11
4,6	-0,24	-0,07	-0,17
5,25	-0,18	-0,13	0,05
5,85	-0,15	-0,14	-0,01

Выводы:

В ходе выполнения работы были изучены графические методы решения трансцендентных уравнений и была найдена частота собственных колебаний осциллятора по известной амплитуде, коэффициенту затухания, начальной фазе и ускорении в заданный момент времени. Рассмотрены осцилляторы с затуханием и без него. Решение представлено в графическом и табличном виде. Расчеты велись на программируемом микрокалькуляторе МК-51 (в Exel, MatCard и проч.). (Решение поставленной задачи неоднозначно при условиях … . Колебательный процесс устойчив … ). Данный тип колебаний применяется … (встречается…), можно использовать … .

Литература:

1. М.И. Рабинович, Д.И. Трубецков. «Введение в теорию колебаний и волн» Наука М., 1984г.

2. И.В. Савельев. «Общий курс физики» Наука М., 1972г.

3. Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. «Справочник по физике» Наука М., 1977г.