2.1.23. Режимы работы осциллятора при подводе к нему энергии. Маятник Фруда и ламповый генератор
Н. Е. Жуковским было предложено устройство совершенного (без потерь) подвеса маятника, схематически показанное на рис. 48. Муфта A, насаженная на вал С, составляет одно целое с маятником В. Вал расположен горизонтально и равномерно вращается с угловой скоростью ω, маятник совершает колебания в плоскости, перпендикулярной к валу.
Можно показать, что если угловая скорость вала достаточно велика и сила трения муфты о вал не зависит от скорости скольжения, то потери энергии колебаний в подвесе не будет. Рассмотрим, как велика должна быть угловая скорость вращения вала.
Второй закон Ньютона для вращательного движения имеет вид:
J = Mтр-Мтяж , Мтяж = mg a sinφ, (163)
где а - расстояние от оси вращения до центра масс, φ - угол отклонения маятника от вертикали, m - масса маятника, g - ускорение свободного падения, - угловое ускорение маятника, J - момент инерции маятника.
Момент силы тяжести в процессе движения меняет свой знак.
Момент силы трения равен : Mтр = RFтр,
где R - радиус вала, Fтр - величина силы трения скольжения
Fтр = Р, μ - безразмерный коэффициент трения, P – сила давления маятника на ось. Из рисунка рис. 48 следует: Р = mg cosφ.
Т
огда
Fтр
=
mg
cosφ;
a
Mтр
= Rmg
cos
(164)
Рис. 48. Маятник Фруда
Если предположить, что вал вращается по часовой стрелке, то момент силы тяжести на рисунке направлен от нас перпендикулярно плоскости чертежа.
Относительно оси ОХ он будет отрицательным, а момент силы трения положительным.
Подставив значение величин в формулу (163) получаем:
Jε+ mga sin φ = Rmg cosφ .
Это уравнение будет уравнением гармонических колебаний при условии, что амплитуда колебаний A = а | sinφm | значительно меньше характерной длины маятника а, где φm - -угол максимального отклонения маятника от положения равновесия.
a | sinφm | << a, | sinφm | << 1
При
таком условии cos φ
= 1
sin
φ
φ,
а уравнение колебаний принимает вид:
J
+
mga
φ
= Rmg
(165)
В
уравнении (163) ε =
Преобразуем (163) к виду:
+
φ
=
(166)
Величин
= 
,
где ω0
- частота собственных гармонических
колебаний маятника.
Рассмотрим, каким образом изменится характер колебаний маятника, если сила трения муфты о вал (рис.48) будет зависеть от скорости скольжения муфты по валу при сохранении остальных условий предыдущей задачи.
Рассмотреть два случая:
1) сила трения возрастает с увеличением скорости скольжения
2) сила трения уменьшается с увеличением скорости скольжения.
1 Случай.
В этом случае относительная угловая скорость вращения муфты и вала в равна:
в = - m,
где
m
=
- угловая скорость маятника..
Сила трения в этом случае равна:
Fтр = k ( - m ) ,
где k - постоянный множитель, а уравнение колебаний (166), которое следует из предыдущей задачи, примет вид:
J + mga φ = R k ( - ) (167)
откуда получим:
+
φ+
=
,
(168)
или
+2β +ω φ = С , . (169)
где
β
=
- коэффициент затухания., 
=
-
частота незатухающих гармонических
колебаний маятника, С =
-
постоянная величина.
Решение уравнения (169), как и ранее, состоит из суммы решений частного решения неоднородного уравнения (169):
φ1
=
и общего решения однородного уравнения:
+2
+
= 0.
(170)
В теории колебаний показано, что общее решение однородного уравнения (170) имеет вид:
φ2 = φmexp (-βt)cos (ωв t+ ).
Таким образом
φ = φ1+φ2 = + φmexp (-βt )cos (ωв t+ ) (171)
Из приведенного уравнения следует, что в этом случае колебания происходят около смещенного положения равновесия и затухают.