6.2 Элементы теории измерений

Экспертное оценивание — процесс субъективного измерения, который можно определить как процедуру сравнения объектов по выбранным показателям (признакам). В это определение включены три понятия: объект, показатель (признак) и процедура сравнения.

Объектами могут быть предметы, явления, решения. В качестве показателей сравнения могут использоваться пространственно-временные, физические, физиологические, психические и другие свойства и характеристики объектов. Процедура сравнения включает определение отношений между объектами и способ их сравнения (больше, меньше, равно, лучше, хуже, одинаково и т.д.).

Для формального описания множества объектов и отношений между ними вводится понятие эмпирической системы с отношениями.

M = <O, R>

O = (O₁, O₂, …, O_n) — множество объектов (предметов, явлений, событий, решений и т.п.). R = (R₁, R₂, …, R_m) — множество отношений между объектами.

Запись O_iR_kO_j означает: объект O_i находится в отношении R_k к объекту O_j., такое отношение называется двухместным (бинарным), так как оно связывает два объекта, если отношение между тремя объектами — называется трехместным.

Определим основные свойства отношений:

- отношение R рефлексивно, если O_iRO_i истинно;

- отношение R антирефлексивно, если O_iRO_i ложно;

- отношение R симметрично, если из O_iRO_j O_jRO_i истинно;

- отношение R антисимметрично, если из O_iRO_j и O_jRO_i O_j = O_i;

- отношение R несимметрично, если из истинности O_iRO_j O_jRO_i ложно;

- отношение R транзитивно, если из O_iRO_j и O_jRO_k O_iRO_k, где O_i, O_j, O_k  O истинно.

Отношение, которое обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности называется отношением эквивалентности

При экспертном оценивании, кроме отношения эквивалентности, используется отношение порядка: раньше чем, больше чем, предпочтительнее чем.

Отношение порядка антирефлексивно и транзитивно: O_i R O_j.

Обозначим основные проблемы теории измерений:

Проблема представления заключается в доказательстве того, что для эмпирической системы с отношениями, выбранной с целью измерения определенных свойств объектов, можно построить численную систему с отношениями, описывающую свойства объектов и отношений между ними с помощью чисел.

Проблему единственности можно сформулировать как проблему определения типа шкалы. Шкалой называется совокупность эмпирической системы, численной системы и отображения, т.е. <M, H, f>.

Рассмотрим следующие наиболее употребительные в практике измерений типы шкал: наименований, порядковая; интервалов, отношений, разностей, абсолютная.

Шкала наименований, или классификаций, используется для описания принадлежностей объектов к определенным классам. Всем объектам одного и того же класса присваивается одно и то же число, а элементам разных классов — разные числа. Поэтому шкала наименования часто называется шкалой классификации. Шкала наименований широко используется на практике для индексации номенклатуры изделий, документов и видов информации в АСУ, нумерации подразделений в организации.

Шкала порядка применяется для измерения упорядочения объектов по одному или совокупности признаков. Пример — шкала твердости минералов. Этой шкалой пользуются для упорядочения объектов. Числа в шкале порядка отображают только порядок следования объектов и не дают возможности сказать, на сколько или во сколько один объект предпочтительнее другого.

Шкала интервалов — применяется для отображения величины различия между свойствами объектов (измерение температуры в градусах Фаренгейта или Цельсия). При экспертном оценивании шкала интервалов применяется для оценки полезности объектов. Основным свойством шкалы интервалов является равенство интервалов. Интервальная шкала может иметь произвольные точки отсчета и масштаб.

Шкала отношений используется, например, для измерения массы, длины, веса. В этой шкале число показывает отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта. Шкала отношений является частным случаем шкалы интервалов при выборе нулевой точки отсчета.

Шкала разностей используется для измерения свойств объектов при необходимости выражения: на сколько один объект превосходит другой по одному или нескольким признакам. Эта шкала — частный случай шкалы интервалов при выборе единичного масштаба.

Абсолютная шкала - частный случай шкалы интервалов. В этой шкале принимается нулевая точка отсчета и единичный масштаб. Она применяется, например, для измерения количества объектов. Это количество измеряется единственным образом с помощью натуральных чисел.

Обобщая описание шкал измерений приведем фомализованное их описание в виде таблицы 6.1.

Рассмотрим основные методы применений.

К наиболее употребительным при экспертном оценивании методам измерений относятся 1) ранжирование; 2) парное сравнивание; 3) непосредственная оценка; 4) последовательная оценка.

Ранжирование - процедура упорядочения объектов, выполняемая экспертом. На основе своих знаний и опыта эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, руководствуясь одним или несколькими показателями сравнения. В зависимости от видов отношений между объектами возможны различные варианты упорядочения объектов.

Пусть среди объектов нет эквивалентных объектов, то есть между объектами существует отношение строго больше, тогда полученная система с отношением порядка <0, >> образует серию, где 0 = (0₁, 0₂, 0_n) - множество измеряемых объектов. Для серии доказано существование числовой системы, элементами которой являются числа, а отношение порядка > есть отношением «больше чем » или « меньше чем ».

Ранжирование объектов производится в шкале порядков.

В практике экспертного ранжирования чаще всего применяется числовое представление последовательности в виде натуральных чисел

r₁ = f (0₁) = 1, r₂ = f (0₂) = 2, ... , r_n = f (0_n) = n,

числа r₁, r₂, ..., r_n - называются рангами.

Система с отношениями эквивалентности и порядка образует квазисерию. Для квазисерии существует числовая система с отношениями «больше чем» («меньше чем») и «равно».

Таблица 6.1

Измерения	Шкала	Допустимые преобразования
Качественные	Номинальная	(x)– взаимнооднозначные
	Порядка	(x)–монотонные
	Гиперпорядка	(x)–монотонные, сохраняющие порядок разностей
Количествен-ные	Интервалов	(x) = ax+b, a>0
	Отношений	(x) = ax, a>0
	Разностей	(x) = x+b
	Абсолютная	(x) = x

При групповой экспертной оценке каждый i-ый эксперт присваивает каждому объекту j ранг r_ij. В результате проведения эксперт оценивая полученную матрицу рангов размерности n*m, m - число экспертов, а n - число объектов (j = 1,...,n). парное сравнение - процедура установления предпочтений объектов при сравнении всех возможных пар.

Парное сравнение проще чем ранжирование. При сравнении пары объектов возможны отношения либо порядка, либо порядка и эквивалентности, что доводится до сведения экспертов. Парное сравнение объектов есть измерение в школе порядка.

При групповом экспертном оценивании каждый эксперт представляет результаты парного сравнения в виде таблицы-матрицы парных сравнений. Тогда возникает задача о ранжировании результатов парного сравнения, что получается уже методами обработки результатов экспертного сравнения.

Непосредственная оценка - процедура приписывания объектам численных значений в школе интервалов. Эксперту предлагается поставить в соответствие каждому объекту точку на непрерывной числовой оси, например, на отрезке [0,1]. С целью уйти от требования точности, рассматривают бальную оценку. Используют 5, 10, 100 бальные шкалы. Последовательное сравнение - комплексная процедура измерения, включающую как ранжирование, так и непосредственную оценку.

Рассмотренные четыре метода измерения: ранжирование, парное сравнение, непосредственная оценка и последовательное сравнение обладают различными качествами, но приводят к близким результатам. Экспертная сравнительная оценка этих методов показала, что в ряде случаев наиболее эффективным является комплексное применение всех методов для решения одной и той же задачи. При этом наиболее простым методом, требующим минимальных затрат, является ранжирование, а наиболее трудоемким для экспертов - метод последовательного сравнения.