Порядок выполнения задания
1. Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
2. Определите заданную функцию переменной х.
3. Введите наибольшее значение п числа слагаемых в частичной сумме ряда Фурье, которое будет использовано в вычислениях* .
4. Найдите выражения для коэффициентов Эйлера — Фурье и для частичной суммы ряда как функции переменных х и n.
5. Найдите выражение для среднеквадратичного отклонения как функции степени тригонометрического многочлена n.
6. Выведите на экран таблицу значений σ (k) среднеквадратичного отклонения для k от 1 до n.
7. Сравнивая табличные значения σ (k) с заданным Ɛ, найдите наименьшее k, для которого справедливо σ (k) < Ɛ.
Пример выполнения задания
Для f(x) = |х| найдите тригонометрический многочлен наилучшего приближения наименьшей степени со среднеквадратичным отклонением, меньшим 0.02. Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от степени многочлена.
Примерный вариант выполнения задания для функции приведен ниже.
Вычисление коэффициентов Фурье по формулам Эйлера — Фурье
Вычисление частичной суммы ряда Фурье
Вычисление среднеквадратичного отклонения
Наименьшее значение n=15
Указание.
Все операции выполняются так же, как в
предыдущем задании. Для того чтобы
отобразить таблицу значений
среднеквадратичного отклонения по
горизонтали, присвойте его значения
соответствующим элементам вектора s
и выведите в рабочий документ вектор
sT.
Чтобы вывести в рабочий документ sT,
введите с клавиатуры s
и щелкните по кнопке
в
панели
.
Зависимость скорости сходимости ряда Фурье от гладкости функции
Скорость сходимости ряда Фурье функции f(x) зависит от ее гладкости (количества непрерывных производных). Если f(x) непрерывно дифференцируема r раз на отрезке [—π, π], то справедливо неравенство
где
.
Для среднеквадратичного отклонения
справедлива оценка.
где
ЗАДАНИЕ 3.35
Сравните сходимость ряда Фурье для двух заданных функций разной гладкости.
Порядок выполнения задания
1. Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
2. Определите функции и постройте их графики.
3. Найдите производные функций и постройте их графики.
4. Найдите выражения коэффициентов Фурье, частичных сумм ряда Фурье и среднеквадратичных отклонений для обеих функций.
5. Постройте графики частичных сумм и среднеквадратичных отклонений для обеих функций.
6. Выведите выражения для коэффициентов Фурье обеих функций и сравните степени номеров коэффициентов в знаменателях полученных выражений.
Пример выполнения задания
Сравните поведение частичных сумм и выражения коэффициентов Фурье для функций
Примерный вариант выполнения задания для функции приведен ниже.
Вычисление производных 1-го порядка
Аналитическое вычисление коэффициентов Фурье
Указание.
Все операции выполняются тале же, как
в предыдущих заданиях. Для того чтобы
ввести символ производной, щелкните по
кнопке
в панели
. Для получения аналитических выражений
коэффициентов Фурье скопируйте в рабочий
документ формулу для вычисления, выделите
ее, щелкните по кнопке
в панели
и по рабочему документу правее и ниже
стрелки.
Ряд Фурье на произвольном отрезке
Для кусочно-гладкой на отрезке [-L, L] функции f(x) задача о разложении в ряд Фурье на отрезке [-L, L] линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке [—π, π]:
где
ЗАДАНИЕ 3.36
Исследуйте поведение частичных сумм ряда Фурье функции f{x), заданной на отрезке [—L, L].
Порядок выполнения задания
1. Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.
2. Определите функцию и постройте ее график.
3. Определите значение L и наибольшее число слагаемых п.
4. Найдите аналитические выражения коэффициентов Фурье.
5. Постройте графики частичных сумм ряда для различных значений п.
Пример выполнения задания
Исследуйте поведение частичных сумм ряда Фурье функции f(x) = ех на отрезке [-L, L],
Примерный вариант выполнения задания в Mathcad для этой функции приведен ниже.
