РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ

Сходимость ряда Фурье. Явление Гиббса

Каждой абсолютно интегрируемой на отрезке* [—π, π] функции f(x) можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье:

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера — Фурье:

Справедливо следующее утверждение. Если функция f(x) кусочно-гладкая на отрезке[—π, π], то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если

сумма тригонометрического ряда Фурье, то

для любого X ϵ [—π, π] и

Обозначим n-ю частичную сумму ряда Фурье кусочно-гладкой на отрезке [—π, π] функции f(x). Тогда утверждение теоремы можно записать в виде:

, если f(x) непрерывна в точке х₀; , если f(x) терпит разрыв первого рода (скачок) в точке х₀.

Ниже приведен фрагмент рабочего документа Mathcad с графиком функции*

и графики частичных сумм S_n(x) ее ряда Фурье.

На графиках видно, как сходятся частичные суммы ряда Фурье. В окрестности точек непрерывности функции f(x) разность между значением функции в точке х и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при n → , что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае . Видно также, что разность S_n(x) — f(x) стремится к нулю тем скорее, чем дальше от точек разрыва функции расположена точка х. В окрестности точек разрыва x₀ = функции f(x) частичные суммы Фурье ведут себя иначе. При этом видно, что, хотя

существуют такие последовательности u_n → x₀ + 0 и v_n → x₀ - 0, что пределы S_n(u_n) и S_n(v_n) при n различны и оба отличаются от .

Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Явление Гиббса состоит в том, что для некоторых функций f(x) в точке x₀ ее скачка существуют такие значения α, что

Это утверждение не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел S_n(x_n), а в теореме — S_n(x).

ЗАДАНИЕ 3.33

Исследуйте графически поведение частичных сумм ряда Фурье заданной функции f(x). Вычислите значение суммы ряда Фурье в указанных точках и в точках —π, π.

Порядок выполнения задания

1. Установите автоматический режим вычислений и режим отображения результатов по горизонтали.

2. Определите заданную функцию переменной х и постройте ее

3. Найдите выражения для коэффициентов Эйлера — Фурье и для частичной суммы ряда как функции S(x,n) переменных x и π.

4. Положив n = 50, вычислите коэффициенты Эйлера — Фурье и частичную сумму ряда S(x, 50).

5. Постройте графики S(х,1), S(x,2), S(x,5), S(x,10), S(x,50) и сравните их между собой и с графиком f(x).

6. Вычислите значения 5(х,1), S(x,2), S(x,5), S(x, 10), S(x,50) в указанных точках и в точках —π, π.

7. Для х = x₀, где х₀ — точка непрерывности функции, постройте график частичной суммы S(x,n) как функции переменной n.

Пример выполнения задания

Исследуйте графически поведение частичных сумм ряда Фурье для функции

Постройте графики частичных сумм для n = 1, 2, 5,10, 20, 50. Вычислите значения частичных сумм ряда Фурье для n = 10, 20, 50 в точках X = —π, 0, π.

Примерный вариант выполнения задания приведен ниже.

Вычисление коэффициентов Фурье по формулам Эйлера — Фурье

Вычисление частичной суммы ряда Фурье

Указание. Для того чтобы определить функцию, заданную разными аналитическими выражениями на разных промежутках, лучше всего поступить следующим образом. Щелкнув в панели математических инструментов по кнопкам откроите соответствующие панели и разместите их на рабочем документе, как показано на рис. 3.25. Введите имя функции переменной х, щелкните в панели калькулятора по кнопке присваивания , затем в панели программирования — по кнопке Add Llne . В рабочем документе справа от знака присваивания появится вертикальная черта с двумя помеченными строками для ввода. Перейдите в первую строку и щелкните по кнопке lf , введите слева от слова if выражение для вычисления функции, а справа — соответствующее ограничение на аргумент. При вводе выражений используйте кнопки панелей калькулятора, знаков отношений и греческого алфавита. Аналогично введите выражение во второй строке. Сохраните выражения для коэффициентов Фурье в виде векторов а и b. Для этого определите размерность вектора n равной 50 и определите диапазон изменения номера к компонент векторов а и b от 0 до п. Для того чтобы найти выражение для коэффициента Фурье а_k, введите с клавиатуры а, знак нижнего индекса (нажмите клавишу <[>), введите в позиции нижнего индекса k, вернитесь в основную строку, введите знак присваивания и выражение для коэффициента. Аналогично определите выражения для коэффициентов b_k. Частичную сумму ряда определите как функцию двух переменных - n и х. Прежде чем строить графики частичных сумм, задайте таблицу значений аргумента х на отрезке [—π, π] с некоторым шагом (в рассмотренном выше примере выбран шаг π/100). Численное исследование частичных сумм состоит в сравнении значений частичных сумм для различных N со значениями функции на концах отрезка, в точке скачка и в точке непрерывности. Введите имя функции (частичной суммы), указав в скобках нужное значение аргумента, и нажмите клавишу <=>, в результате на экране будет отображено значение функции в точке. Полезную информацию о поведении частичных сумм дает график зависимости значений от n

Рис. 3.25. Панели инструментов для ввода функции с использованием панели программирования

Приближение функций. Минимальное свойство коэффициентов Фурье

Функция

где U_k, V_k — произвольные числа, называется тригонометрическим многочленом. Тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-й степени функции f(x) на отрезке [—π, π] называется тригонометрический многочлен Р_n(х) среднеквадратичное отклонение σ_n(х) которого от функции f(x) минимально:

Для любой ограниченной интегрируемой на [—π, π] функции f(x) частичная сумма S_n(x) ее ряда Фурье является тригонометрическим многочленом, наилучшего приближения n-й степени.

ЗАДАНИЕ 3.34

Найдите для заданного значения погрешности е тригонометрический многочлен наилучшего приближения функции f(x) и наименьшей степени со среднеквадратичным отклонением, меньшим Ɛ. Постройте график зависимости среднеквадратичного отклонения от степени многочлена.