- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
- •Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
3. Невизначені вирази.
Нехай і . Виникає питання, що можна сказати про границю ? Виявляється, що ця границя залежно від окремого закону поведінки змінних та може приймати різні значення або взагалі не існувати.
Приклади.
1. Якщо і , то .
2. Якщо і , то .
3. Якщо і , то .
4. Якщо і , то та не існує.
Отже, лише значення границь числових послідовностей , не дозволяє у розглянутому вище випадку робити висновки про значення границі їх відношення. Для того, щоб схарактеризувати цю особливість, говорять, що за умови і вираз є невизначеністю типу .
Аналогічно невизначеними виразами є:
а) у випадку і вираз є невизначеністю типу ;
б) у випадку і вираз є невизначеністю типу ;
в) у випадку та вираз є невизначеністю типу .
Для визначення границь невизначених виразів типу часто може застосовуватися теорема Штольца, яку ми наведемо без доведення
Теорема. Якщо послідовності такі, що
1) починаючи з деякого номера
2) ;
3) існує
то .
ЛЕКЦІЯ 7
Граничний перехід у нерівностях.
Монотонні послідовності.
Число е.
Теорема про вкладені відрізки.
1. Граничний перехід у нерівностях
Теорема . Якщо елементи збіжної послідовності , починаючи з деякого номера , задовольняють нерівність , то і границя цієї послідовності задовольняє нерівність .
Доведення. Нехай, починаючи з деякого номера , елементи збіжної послідовності задовольняють нерівність і . Припустимо, що . Оскільки , то для існує номер такий, що для виконується нерівність , яка рівносильна нерівності . Тоді із нерівності одержуємо: , що суперечить умові. Отже, .
Випадок доводиться аналогічно.
Наслідок 1. Якщо елементи збіжних послідовностей і , починаючи з деякого номера , задовольняють нерівність , то .
Нехай, починаючи з деякого номера, виконується нерівність . Тоді для таких . Отже, , а тому . Звідси маємо . Другий випадок установлюється аналогічно.
Теорема. Нехай члени послідовностей , , , починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність і . Тоді послідовність збіжна й .
Доведення. Задамо довільне число . Тоді для заданого знайдеться такий номер , що для виконуватиметься нерівність , тобто . Для цього ж знайдеться такий номер , що для , тобто .
Виберемо . Тоді виконуватиметься нерівність
для всіх .
Ураховуючи умову теореми, маємо
або , тобто для всіх . Звідси випливає, що .
2. Монотонні послідовності
Послідовність називається неспадною ( незростаючою ), якщо виконується нерівність для усіх .
Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.
Якщо для всіх членів монотонної послідовності виконується строга нерівність , то послідовність називається зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називаються також строго монотонними.
З означення випливає, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони: неспадна обмежена знизу, а незростаюча – зверху.
Теорема. Монотонна обмежена послідовність збіжна.
Доведення. Розглянемо випадок неспадної послідовності .
Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови:
;
існує таке число , що .
Розглянемо числову множину , яка складається з усіх елементів послідовності . За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу.
Позначимо . Покажемо, що .
Оскільки точна верхня межа елементів послідовності , то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якого існує номер такий, що . Так як послідовність неспадна, то при виконується нерівність . З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі, для всіх . Таким чином, при маємо нерівність , тобто при . Отже, .
Для випадку незростаючої послідовності доведення аналогічне.
*** Із теорем 2.5** і 2.8** випливає, що обмеженість монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності.