- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
- •Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
Нехай і нескінченно малі в точці функції. Якщо , то говорять, що в околі точки є нескінченно малою вищого порядку порівняно з , і пишуть .
Якщо , де , то функції і називаються нескінченно малими одного порядку в околі точки .
Якщо , де , додатне число, то функція називається нескінченно малою порядку відносно нескінченно малої функції .
Якщо , то нескінченно малі функції і називаються непорівнянними в околі точки .
Якщо , то функції і називаються еквівалентними нескінченно малими в околі точки . У цьому випадку пишуть .
Теорема. Якщо при й існує границя , то існує границя , причому .
Доведення.
Наведена теорема дає можливість у багатьох випадках спрощувати знаходження границь.
Приклад.
При маємо отже,
Теорема. Для того, щоб функції і були еквівалентними нескінченно малими в околі точки , необхідно й достатньо, щоб їх різниця була в околі точки нескінченно малою вищого порядку по відношенню до кожної з функцій та .
Доведення. Нехай в околі точки . Тоді
Отже, необхідність доведено. Доведемо достатність.
Нехай .
Звідси маємо
.
Таким чином, , тобто в околі точки .
Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
ЛЕКЦІЯ 12
Неперервність функції в точці.
Операції над неперервними функціями.
Класифікація точок розриву функції.
1. Неперервність функції в точці
Нехай функція визначена в деякому околі точки .
Функція називається неперервною в точці , якщо .
Наведемо означення неперервності функції, які ґрунтуються на означеннях границі функції за Гейне і за Коші.
Функція називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності відповідна послідовність значень збігається до .
Функція називається неперервною в точці , якщо для довільного числа існує число таке, що для всіх , які задовольняють умову , виконується нерівність .
Наведені означення рівносильні.
Функція називається неперервною в точці справа (зліва), якщо .
Отже, функція неперервна в точці , якщо вона неперервна в цій точці як справа, так і зліва.
Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції .
Дійсно, умову можна записати як . Тоді
.
Отже, можна дати наступне означення неперервності функції в точці . Функція називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.
Уведене поняття неперервності функції є локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то говорять, що вона неперервна на інтервалі . Якщо при цьому в точці функція неперервна справа, а в точці – неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку .
Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").