- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
- •Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
Теорема. Із будь-якої обмеженої послідовності можна виділити збіжну підпослідовність.
Доведення. Нехай послідовність обмежена, тобто існує такий відрізок , що для всіх виконується нерівність . Поділимо відрізок пополам. Тоді принаймні в одній половині буде міститися нескінченна множина елементів послідовності . Позначимо цю половину . Поділимо тепер відрізок на два рівних відрізки і знову виберемо той із них, у якому міститься нескінченна множина елементів послідовності . Позначимо його . Продовжуючи цей процес, дістанемо послідовність укладених відрізків
,
у яких довжина -го відрізка прямує до нуля при . Отже, за теоремою про вкладені відрізки .
Побудову підпослідовності послідовності виконаємо так: у значенні виберемо довільний елемент із , який належить відрізку , у значенні довільний елемент із , котрий належить відрізку і т. д. Оскільки для вибраних таким чином елементів виконується нерівність , то за теоремою 2.7 .
4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
Означення границі числової послідовності не дає змоги встановлювати збіжність чи розбіжність числової послідовності, якщо не задано значення самої границі. Воно лише дає можливість перевіряти, чи є число границею даної послідовності, чи ні. Отже, виникає необхідність у наявності критерію збіжності числової послідовності, у якому б саме значення границі було відсутнє, тобто щоб цей критерій виявив "внутрішню" структуру збіжної послідовності. Такий критерій був установлений чеським математиком Больцано і французьким математиком Коші. Нині він має назву критерію Коші.
Теорема. Для того, щоб числова послідовність була збіжною, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа існував номер такий, що нерівність
(7)
виконувалася б для всіх , які одночасно задовольняють умову .
Доведення. Необхідність. Нехай послідовність збіжна і . Задамо довільне число . За означенням границі існує такий номер , що
(8)
для всіх . Зрозуміло, що коли , то для всіх таких нерівність (8) виконується. Отже, нехай . Тоді
Необхідність доведено.
Достатність. Нехай для будь-якого існує номер , такий, що для всіх , які одночасно задовольняють умову . Доведемо, що при цьому послідовність збіжна. Нехай заданому відповідає номер , для якого виконується нерівність (7) для всіх . Зафіксуємо одне із значень . Тоді за умовою (7) виконуються нерівності
тобто всі члени послідовності, починаючи з , знаходяться в околі фіксованої точки . Звідси випливає, що послідовність обмежена. Отже, згідно з теоремою Больцано-Вейєрштрасса, із неї можна виділити збіжну підпослідовність . Нехай . Тоді є також границею послідовності . Дійсно, можна вибрати настільки великим, щоб одночасно виконувались нерівності . Тоді, поклавши , матимемо і . Звідси одержуємо
для всіх . А це означає, що .
Послідовність називається фундаментальною або послідовністю Коші, якщо для будь-якого числа існує номер такий, що для всіх , котрі одночасно задовольняють умову , виконується нерівність .
ЛЕКЦІЯ 9
Поняття метричного простору.
Повні метричні простори. Теорема Бера.
Доповнення простору.