- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •Поняття відображення або функції.
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •Аксіома неперервності дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом .
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і .
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
- •Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
- •Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
2. Операції над неперервними функціями
Теорема. Якщо функції неперервні в точці , то функції у точці також неперервні.
Доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь.
Теорема (про неперервність складеної функції). Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , причому , то складена функція неперервна, як функція від , у точці .
Доведення. Нехай задано довільне число . Тоді за неперервністю функції у точці знайдеться число таке, що для всіх , які задовольняють умову .
Для числа за неперервністю функції у точці знайдеться число таке, що для всіх , які задовольняють умову .
Отже, для довільного числа знайдеться число таке, що з умови випливає нерівність , а це означає, що функція неперервна в точці .
Можна довести, що всі елементарні функції в області їх визначення неперервні.
Звернемо увагу на те, що з означення неперервності функції у точці випливає
.
Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких спирається на неперервність елементарних функцій.
.
Доведення.
.
Якщо , то маємо: , тобто при виконується .
.
Доведення. Покладемо . Тоді . Якщо , то і .
.
Якщо , то маємо: , тобто при справедливо .
.
Доведення. Покладемо . Якщо , то і .
Далі . Звідси маємо: . Тоді
Розглянемо степенево-показниковий вираз . Нехай . Запишемо
.
Оскільки , то . Звідси маємо
.
Зазначимо, що вирази є не визначеними. Для знаходження відповіді на питання, що є границею виразу , у цих випадках недостатньо знати лише границі функцій , потрібно знати закон, за яким вони прямують до своїх границь.
3. Класифікація точок розриву функції.
Точка називається точкою розриву функції , якщо функція у точці не є неперервною.
Точки розриву класифікують наступним чином.
Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
,
Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
Якщо в точці функція має скінченну границю справа і скінченну границю зліва й , то точка називається точкою розриву функції із скінченним стрибком.
Розриви другого роду. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці функція не має принаймні однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь є нескінченною.
Кусково-неперервні функції. Функція називається кусково-неперервною на відрізку , якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках , за винятком, можливо, скінченного числа точок, у яких має розрив 1-го роду і , крім того, має односторонні границі в точках та .