2. Деякі властивості дійсних чисел

Наведемо деякі властивості дійсних чисел.

1. Число є розв'язком рівняння .

Доведення. Підставимо в дане рівняння замість його значення:

.

Згідно з

Згідно з

Згідно з

Згідно з

Зауваження. Число називається різницею чисел та і позначається . Зазначимо, що за умови різниця . Дійсно, якщо , то за Одержуємо , далі за Маємо , тобто .

2. Число є розв'язком рівняння , якщо .

Доведення. Підставимо в дане рівняння значення :

.

Згідно з .

Згідно з .

Згідно з .

Згідно з .

Зауваження. Число називається часткою чисел й і позначається або .

3. Якщо , то .

Дійсно, оскільки , то . Отже, за , звідки одержуємо .

Зокрема, якщо , то , а якщо , то .

Дійсно, згідно з , далі за . Отже,

0= − 0.

4. Якщо і , то .

Дійсно, якщо і , то за , . Далі згідно з .

5. Якщо та , то .

Дійсно, якщо , то згідно з і за 4 одержуємо: .

6. .

Це випливає з того, що .

7. .

Справді, .

8. .

Дана рівність доводиться так: .

8. .

Доведення:

Зокрема, .

8. Якщо і , то .

Дійсно, оскільки , то , а тому (згідно з ). Отже, , а звідси .

8. Якщо та , то .

Справді, оскільки , то , а тому (згідно з ). Отже, , а звідси маємо .

8. Якщо , то .

Це випливає з і 11.

За властивістю маємо: , тобто .

Надалі будемо використовувати й інші властивості дійсних чисел, не спиняючись на їх формальному доведенні.

Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.

Множину дійсних чисел позначатимемо буквою .

ЛЕКЦІЯ 4

1. Поняття ізоморфізму.

2. Інтерпретація множини дійсних чисел.

3. Найбільш вживані числові множини.

4. Межі числових множин.

5. Абсолютна величина числа.

1. Поняття ізоморфізму

Нехай задані дві множини об'єктів і , причому в першій визначені деякі відношення між її об'єктами, а в другій – відношення між відповідно своїми об'єктами.

Множини і з указаними на них відношеннях називаються ізоморфними (позначається ), якщо між ними встановлено бієктивне відображення , при якому з наявності відношення випливає відношення , де .

Будь-яку множину об'єктів , ізоморфну множині , можна розглядати як "модель" множини і зводити вивчення властивостей множини до вивчення властивостей "моделі" .

Нехай і − дві частково впорядковані множини і нехай . Якщо з умови , де , випливає нерівність , то говорять, що відображення зберігає порядок.

Відображення є ізоморфізмом частково впорядкованих множин та , якщо воно бiєктивне, а співвідношення справджується тоді й тільки тоді, коли . Самі множини і при цьому ізоморфні.

2. Інтерпретація множини дійсних чисел

Розглянемо пряму з фіксованою точкою − початком координат. Нехай задана одиниця виміру. Тоді множину дійсних чисел можна поставити у взаємно однозначну відповідність із точками прямої: точці , яка лежить справа від точки , поставимо у відповідність число , рівне довжині відрізка . Тоді , яка лежить зліва від точки , число , де – довжина відрізка , а точці – число 0. Число , яке відповідає точці , називається координатою точки . Пряма з описаними властивостями називається числовою прямою. Отже, кожній точці числової прямої відповідає дійсне число – її координата. Має місце й обернене твердження: кожному дійсному числові відповідає деяка точка числової прямої, а саме точка , координата якої . При так установленій відповідності між дійсними числами і точками прямої нерівність рівносильна тому, що точка з координатою лежить зліва від точки з координатою . Отже, можна говорити про ізоморфізм множини дійсних чисел і множини точок числової прямої, тобто що числова пряма є моделлю множини дійсних чисел.

Надалі, говорячи про дійсні числа, замість слова "число" іноді вживається слово "точка". У зв'язку з цим числові множини ще називають точковими.

Використовуючи аксіому неперервності множини дійсних чисел, можна встановити, що множина дійсних чисел, яка задовольняє умову , є незчисленною. Говорять, що ця множина має потужність континууму. Із цього випливає, що множина всіх дійсних чисел незчисленна. Можна також довести, що множина раціональних чисел зчисленна. Отже, множина ірраціональних чисел незчисленна, оскільки вона є множиною (якби множина ірраціональних чисел була зчисленною, то і множина була б зчисленною, оскільки ).