Решение типовых задач

Пример 1. По итогам аналитической группировки, изучающей зависимость средней заработной платы рабочих от возраста (пример 6 темы 5) с помощью однофакторного дисперсионного анализа: 1) проерить статистическую существенность зависимости; 2) оценить тесноту связи между средней заработной платой и возрастом.

Решение

1. Для проверки статистической существенности зависимости между изучаемыми факторами строим однофакторный дисперсионный комплекс (табл.10.6), предварительно рассчитав соответствующие девиации и дисперсии:

+

= 269000.

Таким образом, выполняется правило разложения вариации:

, или 269000 = 234000 + 3500.

Определяем число степеней свободы для каждого вида девиации:

.

Тогда соответствующие дисперсии будут равны:

факторная: ; остаточная: ;

общая: .

По соотношению рассчитывается F- критерий:

Итоговые значения рассчитанных характеристик представим в таблице 10.6.

Таблица 10.6

Однофакторный дисперсионный комплекс зависимости средней заработной платы от возраста рабочих

Источник вариации	Девиа ция	Число степе- ней свободы	Дисперсия	F – кри-терий
Между группами	234000		факторная	=56,83
Внутри групп	35000		остаточная или случайная
Общая	269000		общая

Табличное значение F–критерия: (приложение 2); > поэтому зависимость между средней заработной платой и возрастом является существенной или статистически значимой.

2. Рассчитываем эмпирическое корреляционное отношение ( ): .

где ; (итоги решения прим. 6 в теме 5)

При подтверждении статистической зависимости для оценки тесноты связи рассчитываем коэффициент детерминации ( ):

.

Зависимость между возрастом рабочих и средней месячной заработной платой очень тесная - на 87 % изменение зарплаты обусловлено возрастом рабочих.

Пример 2. По 12-ти предприятиям имеются следующие данные о годовой производительности труда работника (тыс.грн) и вооруженности труда основным капиталом (тыс.грн/чел.) (таблица 10.7).

На основании приведенных данных: 1) оцените тесноту связи между показателями с помощью коэффициента Фехнера и коэффициента ранговой корреляции Спирмена; 2) выявите зависимость и тесноту связи между показателями с помощью парного корреляционно-регрессионного анализа. Сделайте выводы.

Решение

1. Для определения коэффициента Фехнера рассчитываем средние значения признаков:

тыс.грн/чел, тыс.грн.

Определяем знаки отклонений от среднего, т.е. знаки и и заносим в таблицу 10.6 (гр.3 и 4), а затем подсчитываем число совпадений и несовпадений знаков отклонений (гр.5). Тогда: . Коэффициент, равный 0,5 свидетельствует о наличии прямой и умеренной зависимости между производительностью труда и капиталовооруженностью труда.

Для определения коэффициента ранговой корреляции ( ) проранжируем в порядке возрастания факторный и результативный признаки, т.е. определяем R_х и R_у и занесем их в гр.6 и 7 таблицы 10.7. Затем рассчитываем и заносим в гр.8 данной таблицы. Тогда коэффициент ранговой корреляции Спирмена будет равен:

.

Теснота связи между анализируемыми показателями прямая и достаточно тесная.

2. На первом этапе применения методики парного корреляционного анализа проверяем, выполняются ли требования, предъявляемые к факторному и результативному признакам.

- Однородность распределений. Все промежуточные расчеты представлены в таблице 10.8.

; ; ;

Коэффициенты вариации ( и ) меньше 33%, что подтверждает гипотезу о статистической однородности и капиталовооруженности труда и производительности труда.

- Соответствие нормальному закону распределения.

По правилу “трех сигм” определяем интервалы:

а) для факторного признака ; или ; х_min=298; х_max=366; отсюда 298 и 366 є , т.е. с вероятностью 0,997 можно утверждать, что факторный признак соответствует нормальному закону распределения;

б) для результативного признака ; или ; у_min=12,5; у_max=16,3. Тогда:12,5 и 16,3 є .

Значит, с той же вероятностью и результативный признак соответствует нормальному закону распределения.

- Требования, связанные с независимостью по объектам наблюдения и взаимнооднозначном соответствии факторного и результативного признака, подтверждаются на этапе постановки задачи с помощью содержательного анализа исходной информации.

Следующая задача в методике парного корреляционно-регрес-сионного анализа – выбор формы связи между признаками. Для этого строим корреляционное поле (рис.10.1).

По расположению точек на корреляционном поле выбираем линейную форму связи, т.е. уравнение связи будет следующее: .

Таблица 10.7

Расчетная таблица для определения непараметрических показателей тесноты связи

№ предприятия	Капиталовооруженность труда, тыс. грн/чел, х	Годовая производительность труда, тыс. грн., у	Знак отклонения от среднего		Число совпадений (несовпадений) знаков	Ранги
			факторного признака	результативного признака		по х Rx	по у Rу
	1	2	3	4	5	6	7	8
1	360,0	15,2	+	+	С	10	10	0
2	298,0	12,8	-	-	С	1	3	4
3	328,0	13,8	-	0	Н	6	8	4
4	330,0	14,0	0	+	С	7	9	4
5	366,0	16,3	+	+	С	12	12	0
6	316,0	12,6	-	-	С	4	2	4
7	334,0	13,2	+	-	Н	9	6	9
8	300,0	12,9	-	-	С	2	4	4
9	314,0	13,1	-	-	С	3	5	4
10	320,0	12,5	-	-	С	5	1	16
11	362,0	15,7	+	+	С	11	11	0
12	332,0	13,5	+	-	Н	8	7	1
Всего	3960,0	165,6						59

Таблица 10.8

Вспомогательные расчеты характеристик для парного корреляционно-регрессионного анализа

№ п/п	х	у	х2	у2	ху
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	360,0	15,2	129600	231,04	5472	15,3	1,96	0,01	900	0,0066
2	298,0	12,8	88804	163,84	3814,4	12,2	1,0	0,36	1024	0,047
3	328,0	13,8	107584	190,44	4526,4	13,7	0	0,01	4	0,0072
4	330,0	14,0	108900	196	4620	13,8	0,04	0,04	0	0,0143
5	366,0	16,3	133956	265,69	5965,8	15,6	6,25	0,49	1296	0,043
6	316,0	12,6	99856	158,76	3981,6	13,1	1,44	0,25	196	0,04
7	334,0	13,2	111556	174,24	4408,8	14,0	0,36	0,64	16	0,134
8	300,0	12,9	90000	166,41	3870	12,3	0,81	0,36	900	0,0465
9	314,0	13,1	98596	171,61	4113,4	13,0	0,49	0,01	256	0,0076
10	320,0	12,5	102400	156,25	4000	13,3	1,69	0,64	100	0,064
11	362,0	15,7	131044	246,49	5683,4	15,4	3,61	0,09	1024	0,019
12	332,0	13,5	110224	182,25	4482	13,5	0,09	0	4	0
Всего	3960,0	165,6	1312520	2303,02	54937,8		17,74	2,9	5720	0,4292

•

•

•

•

•

• •

•

•

• •

• •

……. - корреляционное поле;

- теоретическая линия регрессии.

Рис. 10.1. Корреляционное поле и теоретическая линия регрессии.

Определяем параметры а₀ и а₁ по упрощенным формулам, т.е.

.

где ; ; ;

Линейное уравнение связи будет иметь следующий вид:

Параметр а₁ = 0,05 показывает, что годовая производительность труда в среднем возрастет на 0,05 тыс.грн., если капиталовооруженность труда увеличится на одну тыс.грн., т.е. прирост капиталовооруженности на одну тыс. грн. сопровождается ростом производительности труда в среднем на 0,05 тыс.грн., а₀ не имеет содержательной интерпретации.

Следующая задача – определение показателей тесноты связи. Рассчитываем:

- парный коэффициент корреляции: ;

- парный коэффициент детерминации: ;

коэффициент эластичности:

Зависимость между капиталовооруженностью труда и годовой производительностью труда сложилась прямая ( ) и достаточно тесная, в среднем на 83,0%, колеблемость (или изменение) производительности труда вызывается изменением капиталовооруженности труда. При этом каждый процент прироста капиталовооруженности труда сопровождается приростом производительности труда на 1,2%.

Следующая задача – проверка статистической значимости характеристик парного корреляционно-регрессионного анализа и статистической точности уравнения связи:

- парного коэффициента корреляции - на основе t-критерия (приложение 1):

; t_теор 2,228; t_расч>t_табл.

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что парный коэффициент корреляции статистически значимый или достоверный.

- уравнения связи - на основе F-критерия:

(расчет и представлен в гр.7 и 8 табл.10.8) , т.е. F_расч > F_табл (приложение 2).С вероятностью 0,95 можно утверждать, что линейное уравнение связи статистически достоверно.

- параметров уравнения связи - на основе t–критерия:

; ; ; ; ; ; ; , т.е. параметры уравнения связи являются статистически достоверными или надежными. Для проверки статистической точности уравнения связи рассчитываем относительную ошибку аппроксимации (гр.10, табл.10.8)

, , что подтверждает статистическую точность полученного уравнения регрессии.

Пример 3. Известны следующие данные о валовом доходе и оборотных средствах торгового предприятия по кварталам 2001 и 2002гг.

Кварталы	Стоимость оборотных средств, тыс.грн.	Валовой доход, тыс.грн.
2001 год
1	50,0	63,0
П	56,0	70,0
Ш	35,0	48,0
1V	36,0	50,0
2002 год
1	40,0	60,0
П	45,0	54,0
Ш	42,0	70,0
1V	48,0	65,0

Выявите зависимость между валовым доходом и стоимостью оборотных средств с помощью методики корреляционно-регрессион-ного анализа. Обоснуйте выбор размерности уравнения связи и способа его расчета. Сделайте выводы.