- •Билет №2 Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, достижение точных верхней и нижней граней.
- •Билет №3 Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Билет №4 Теорема о среднем Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций. Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Билет №6 Исследование функций одной переменной при помощи первой и второй производных на монотонность, локальные экстремумы, выпуклость. Теорема1
- •Теорема 2. Ферма.
- •Теорема 3.(достаточное условие строгого экстремума)
- •Теорема 4.
- •Теорема 1 (условие выпуклости функций).
- •Билет №8 Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Билет №12 Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности).
- •Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •Теорема 3
- •Билет №13 Степенные ряды.
- •Билет №14 Формула Грина.
- •Потенциальные векторные поля на плоскости.
- •Билет №15 Формула Остроградского-Гаусса.
- •Соленоидальные векторные поля.
- •Билет №16 Формула Стокса.
- •Теорема 1 (Стокса).
- •Билет №17 Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.
- •Билет №18 Достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •Билет №19 Непрерывность преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции.
- •Лемма 4.
- •Преобразования Фурье производной и производная преобразования Фурье.
- •Билет №20 Углы между прямыми и плоскостями.
- •Формула расстояния от точки до прямой и плоскости, между прямыми в пространстве.
- •Билет №21 Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Билет №22 Линейное отображение конечномерных линейных пространств, его матрица.
- •Свойства собственных векторов и собственных значений линейных преобразований.
- •Билет №23 Самосопряженные преобразования евклидовых пространств, свойства их собственных значений и собственных векторов.
- •Билет №24 Приведение квадратичных форм в линейном пространстве к каноническому виду.
- •Билет №25 Положительно определенные квадратичные формы.
- •Билет №26 Когда правая часть является квазимногочленом.
- •Билет №27 Когда существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.
- •Когда не существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.
- •Билет №28 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.
- •Фундаментальная система решений.
- •Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.
- •Билет №29 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет №32 Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Теорема.
- •Неравенство Чебышева.
- •Закон больших чисел.
- •Предельная теорема Пуассона.
- •Билет №33 Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
- •Интегральная теорема Коши.
- •Билет №34 Интегральная формула Коши.
- •Разложение функции, регулярной в окрестности точки, в ряд Тейлора.
- •Билет №35 Разложение функции, регулярной в кольце в ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки однозначного характера.
- •Билет №36 Вычеты.
- •Вычисление интегралов по замкнутому контуру при помощи вычетов.
Билет №23 Самосопряженные преобразования евклидовых пространств, свойства их собственных значений и собственных векторов.
Линейное преобразование A евклидова пространства называется самосопряженным, если A = A * . Это равносильно тому, что (A(x),y) = (x,A(y)) для любых x и y.
Теорема 1. Все корни характеристического многочлена самосопряженного преобразования вещественны.
Доказательство. Допустим, что самосопряженное преобразование A имеет не вещественный корень характеристического многочлена. Тогда согласно предположению 8 4 гл. VI существует двумерное инвариантное подпространство Ε', не содержащее собственных векторов A. Обозначим через A' ограничение A на Ε'. Поскольку A' - самосопряженное преобразование, в ортонормированном базисе оно будет иметь симметричную матрицу
Характеристический многочлен этой матрицы λ2 − (α + γ)λ + (αγ − β2) имеет дискриминант (α + γ)2 − 4(αγ − β2). Последнее легко преобразуется в (α − γ)2 + 4β2. Следовательно, дискриминант неотрицателен, характеристический многочлен имеет вещественный корень, а преобразование A' - собственный вектор, что противоречит выбору подпространства Ε'. Теорема доказана.
Теорема 2. Собственные подпространства самосопряженного преобразования попарно ортогональны.
Теорема равносильна следующему утверждению.
Если собственные векторы самосопряженного преобразования принадлежит различным собственным значениям, то они ортогональны.
Доказательство. Пусть A(x) = λx и A(y) = μy, причем . Тогда
(A(x),y) = λ(x,y).
Но иначе можно получить
(A(x),y) = (x,A(y)) = μ(x,y).
Из этих двух равенств следует (λ − μ)(x,y) = 0, откуда (x,y), как и требовалось.
Теорема 3. Если подпространство инвариантно относительно самосопряженного преобразования A, то ортогональное дополнение этого подпространства - также инвариантно относительно A.
Доказательство. Нам дано, что для каждого x из образ A(x) также лежит в . Поэтому (A(x),y) = 0 для любого . Но для самосопряженного A это равносильно (x.A(x)) = 0, и, следовательно, , как и требовалось.
Теорема 4. Пусть A - самосопряженное преобразование евклидова пространства Ε. Тогда в Ε существует ортонормированный базис из собственных векторов A.
Доказательство. Обозначим через L сумму собственных подпространств преобразования A и докажем, что она совпадает с Ε. Сумма собственных подпространств - инвариантное подпространство. Действительно, если вектор x раскладывается в линейную комбинацию собственных векторов (принадлежащим каким бы то ни было собственным значениям), то его образ раскладывается по ним же.
Из теоремы 3 следует, что ортогональное дополнение L также инвариантно. Допустим, что подпространство и рассмотрим ограничение A' преобразования A на . Это самосопряженное преобразование, и потому оно имеет вещественные характеристические числа и, следовательно, хоть один собственный вектор. Этот вектор собственный и для A и должен лежать в L. Так как он не нулевой, в он лежать не может. Полученное противоречие показывает, что - нулевое подпространство, и L совпадает с Ε.