- •Билет №2 Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, достижение точных верхней и нижней граней.
- •Билет №3 Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Билет №4 Теорема о среднем Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций. Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Билет №6 Исследование функций одной переменной при помощи первой и второй производных на монотонность, локальные экстремумы, выпуклость. Теорема1
- •Теорема 2. Ферма.
- •Теорема 3.(достаточное условие строгого экстремума)
- •Теорема 4.
- •Теорема 1 (условие выпуклости функций).
- •Билет №8 Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Билет №12 Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности).
- •Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •Теорема 3
- •Билет №13 Степенные ряды.
- •Билет №14 Формула Грина.
- •Потенциальные векторные поля на плоскости.
- •Билет №15 Формула Остроградского-Гаусса.
- •Соленоидальные векторные поля.
- •Билет №16 Формула Стокса.
- •Теорема 1 (Стокса).
- •Билет №17 Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.
- •Билет №18 Достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •Билет №19 Непрерывность преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции.
- •Лемма 4.
- •Преобразования Фурье производной и производная преобразования Фурье.
- •Билет №20 Углы между прямыми и плоскостями.
- •Формула расстояния от точки до прямой и плоскости, между прямыми в пространстве.
- •Билет №21 Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Билет №22 Линейное отображение конечномерных линейных пространств, его матрица.
- •Свойства собственных векторов и собственных значений линейных преобразований.
- •Билет №23 Самосопряженные преобразования евклидовых пространств, свойства их собственных значений и собственных векторов.
- •Билет №24 Приведение квадратичных форм в линейном пространстве к каноническому виду.
- •Билет №25 Положительно определенные квадратичные формы.
- •Билет №26 Когда правая часть является квазимногочленом.
- •Билет №27 Когда существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.
- •Когда не существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.
- •Билет №28 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.
- •Фундаментальная система решений.
- •Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.
- •Билет №29 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет №32 Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Теорема.
- •Неравенство Чебышева.
- •Закон больших чисел.
- •Предельная теорема Пуассона.
- •Билет №33 Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
- •Интегральная теорема Коши.
- •Билет №34 Интегральная формула Коши.
- •Разложение функции, регулярной в окрестности точки, в ряд Тейлора.
- •Билет №35 Разложение функции, регулярной в кольце в ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки однозначного характера.
- •Билет №36 Вычеты.
- •Вычисление интегралов по замкнутому контуру при помощи вычетов.
Фундаментальная система решений.
Определение. Матрица Φ(x) у которой столбцы образуют фундометальную систему решений (1) называется фундоментальной матрицей системы (1).
Таким образом,
Очевидно, что Φ(x) - непрерывно дифференцируемая матрица на [α,β]. Из теоремы 2 следует, что для (1) существует бесконечно много фундометальных матриц. Из определния фундоментальной системы решений получаем, что Φ(x) - невырожденная матрица на [α,β]. Из теоремы 3 получаем самое важное свойство Φ(x). Именно, если Φ(x) - фундоментальная матрица (1), то общее решение системы (1) записывается в простом виде
,
где c-произвольный числовой n-мерный вектор.
Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.
Пусть - система вектор-функций с n компонентами на [α,β].
Определение. Определителем Вронского системы называется определитель
.
Теорема 4. Пусть W(x) - вронскиан решений системы (1) и пусть . Тогда для имеет место формула Лиувилля-Остроградского
,
где называется следом матрицы A(ζ). Доказательство. Покажем, что W(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению
.
Пусть компоненты решения . Тогда W(x) является функцией всех этих компонент:
По формуле производной сложной функции получаем, что
.
Если Wpr(x) - алгебраическое дополнение ypr(x) в W(x), то разложение W(x) по p-й строке дает
.
Отсюда находим, что
.
Каждая вектор-функция yq(x) удовлетворяет системе (1), т.е.
.
Отсюда находим, что
,
где apr(x) - элементы матрицы A(x). Подставляя найденные выражения и y'pq(x) в формулу W'(x), получаем, что
.
Но из курса алгебры известно, что
,
где δrp - символ Кронекера. Тогда
.
Интегрирование этого линейного однородного уравнения первого порядка и дает требуемую формулу (6).
Билет №29 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
Обозначим через множество всех непрерывно дифференцируемых функций, заданных на [a,b]. Для введем расстояние между ними по формуле
Множество функций C1[a,b] с введенной метрикой является линейным нормированным пространством.
Пусть F(x,y,p) - заданная непрерывно дифференцируемая функция для и . Рассмотрим интеграл
на множестве M тех функций , которые удовлетворяют граничным условиям
,
где A и B заданные числа. Функции будем называть допустимыми.
Определение. Говорят, что функция дает слабый локальный минимум функционала (1), если .
Определение. Задача нахождения слабого локального экстремума функционала (1) называется простейшей вариационной задачей.
Теорема. Пусть функция F(x,y,p) - дважды непрерывно дифференцируема при и . Если дважды непрерывно дифференцируемая функция является решением простейшей вариационной задачи, то необходимо, чтобы функция на [a,b] удовлетворяла уравнению Эйлера
Доказательство. Условие экстремальности
если второй интеграл взять по частям то приходим к следующему эквивалентному уравнению
ну и получаем утверждение теоремы.
БИЛЕТ №30
Полная система событий.
Пусть имеется n (любое число) событий , таких, что в каждой единичной операции обязательно должно наступить одно и только одно из этих событий; условимся такую группу событий называть полной системой.
Формула полной вероятности.
Пусть A - произвольное событие, события попарно несовместимы, , и . Тогда имеет место следующая формула (формула полной вероятности):
.
Для доказательства этой формулы заметим, что A можно представить в виде следующей суммы попарно несовместимых событий:
.
Отсюда, воспользовавшись аксиомой А4 и формулой
Если A и B несовместны, то
.
получим формулу
Формула Байеса.
Заменив в равенстве
вероятность P(A) по формуле полной вероятности, получим формула Байеса
.
БИЛЕТ № 31
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, их свойства.
Математическим ожиданием случайной величины ξ, заданной на вероятностном пространстве , называется число
если итеграл Лебега в правой части равенства существует.
Математическим ожиданием Mξ случайной величины ξ = ξ(ωk), заданной на дискретном вероятностном пространстве с , называется число
,
если ряд абсолютно сходится.
Если же ряд не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины ξ не существует.
Математическое ожидание Mξ случайной величины ξ = ξ(u1,u2,...,un), заданной на абсолютно непррывном вероятноствном пространстве , называется число
,
если интеграл абсолютно сходится.
Если интеграл не сходится абсолютно, то говорят, что математическое ожидание случайной величины ξ не существует.
Свойства математического ожидания.
1. Если C - постоянная, то MC = C.
2. Если C - постоянная, то M(Cξ) = CMξ.
3. Для любых величин ξ
.
4. Для любых случайных величин ξ1 и ξ2
M(ξ1 + ξ2) = Mξ1 + Mξ2.
Если существует какие-нибудь два из входящих в равенство математических ожиданий, то существует третье математическое ожидание.
5. Если случайные величины ξ1 и ξ2 независимы, то Mξ1ξ2 = Mξ1Mξ2. Из существования любых двух математических ожиданий следует существование третьего математического ожидания.
Дисперсией Dξ случайной величины ξ называется число
Dξ = (M | ξ − Mξ | 2),
если математическое ожидание в правой части существует.
Величина называется средним квадратическим отклонением
Свойства дисперсии:
1. Для любой случайной величины ξ имеем .
2. Если c - постоянная, то D(c) = 0.
3. Если c постоянная, то D(cξ) = c2Dξ.
4. Если случайные велины ξ1 и ξ2 независимы, то
D(ξ1 + ξ2) = Dξ1 + Dξ2.