- •Билет №2 Ограниченность функции, непрерывной на отрезке, достижение точных верхней и нижней граней.
- •Билет №3 Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
- •Билет №4 Теорема о среднем Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций. Теорема Ролля.
- •Теорема Лагранжа.
- •Теорема Коши.
- •Теорема. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
- •Билет №6 Исследование функций одной переменной при помощи первой и второй производных на монотонность, локальные экстремумы, выпуклость. Теорема1
- •Теорема 2. Ферма.
- •Теорема 3.(достаточное условие строгого экстремума)
- •Теорема 4.
- •Теорема 1 (условие выпуклости функций).
- •Билет №8 Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.
- •Билет №12 Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов.
- •Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности).
- •Теорема 1.
- •Теорема 2.
- •Теорема 3
- •Билет №13 Степенные ряды.
- •Билет №14 Формула Грина.
- •Потенциальные векторные поля на плоскости.
- •Билет №15 Формула Остроградского-Гаусса.
- •Соленоидальные векторные поля.
- •Билет №16 Формула Стокса.
- •Теорема 1 (Стокса).
- •Билет №17 Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.
- •Билет №18 Достаточные условия равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
- •Билет №19 Непрерывность преобразования Фурье абсолютно интегрируемой функции.
- •Лемма 4.
- •Преобразования Фурье производной и производная преобразования Фурье.
- •Билет №20 Углы между прямыми и плоскостями.
- •Формула расстояния от точки до прямой и плоскости, между прямыми в пространстве.
- •Билет №21 Общее решение системы линейных алгебраических уравнений.
- •Теорема Кронекера-Капелли.
- •Билет №22 Линейное отображение конечномерных линейных пространств, его матрица.
- •Свойства собственных векторов и собственных значений линейных преобразований.
- •Билет №23 Самосопряженные преобразования евклидовых пространств, свойства их собственных значений и собственных векторов.
- •Билет №24 Приведение квадратичных форм в линейном пространстве к каноническому виду.
- •Билет №25 Положительно определенные квадратичные формы.
- •Билет №26 Когда правая часть является квазимногочленом.
- •Билет №27 Когда существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.
- •Когда не существует базис из собственных векторов матрицы коэффициентов системы.
- •Билет №28 Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.
- •Фундаментальная система решений.
- •Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.
- •Билет №29 Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера.
- •Билет №32 Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Теорема.
- •Неравенство Чебышева.
- •Закон больших чисел.
- •Предельная теорема Пуассона.
- •Билет №33 Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
- •Интегральная теорема Коши.
- •Билет №34 Интегральная формула Коши.
- •Разложение функции, регулярной в окрестности точки, в ряд Тейлора.
- •Билет №35 Разложение функции, регулярной в кольце в ряд Лорана.
- •Изолированные особые точки однозначного характера.
- •Билет №36 Вычеты.
- •Вычисление интегралов по замкнутому контуру при помощи вычетов.
Интегральная теорема Коши.
Теорема Коши для случая непррывной производной.
Теорема 1. Пусть функция f(z) дифференцируема в односвязной области D и её производная непрерывна в D. Тогда интеграл от f(z) по любой замкнутой кривой γ, лежащей в области D, равен нулю:
.
Доказательство. Если f(z) = u(x,y) + iv(x,y), то по формуле
имеем
,
где
.
Так как функция f(z) имеет непрерывную производную в области D, то частные производные первого порядка функции u,v непрерывны в области D и выполняется условия Коши-Римана
В силу применимости формулы Грина следует, что J1 = J2 = 0. Таким образом
Билет №34 Интегральная формула Коши.
Пусть функция f(z) дифференцируема в односвзяной области D и пусть простая замкнутая кривая γ лежит в D и ориентирована положительно. Тогда для любой точки z, лежащей внутри γ, справедлива формула
это формула называется интегральной формулой Коши.
Доказательство. Функция f(ζ) / (ζ − z) дифференцируема в области D с выколотой точкой z. Выберем ρ так, чтобы круг | ζ − z | < ρ вместе с его границей Cρ: | ζ − z | = ρ лежал внутри γ. Тогда используя следствие из интегральной теоремы Коши, получаем
где .
Так как , то
и пожтому для доказательства достаточно установить, что J1 = 0.
В силу непррывности функции f(ζ) в точке z для любого найдется такое , что неравенство выполняется при | ζ − z | < δ. Следовательно
,
если . Учитывая, что J1 не зависит от ρ, получаем J1 = 0, т.е. J = f(z). Формула доказана.
Разложение функции, регулярной в окрестности точки, в ряд Тейлора.
Если функция f регулярна в круге Br(a), где , то она представима в этом круге Br(a) в виде суммы сходящегося ряда Тейлора, т.е.
,
где
.
Доказательство.
Фиксируем произвольную точку . Тогда существует число r1 > 0 такое, что | z − a | < r1 < r. Пусть - ориентированная движением против хода часовой стрелки. Запишем интегральную формулу Коши:
.
Преобразуем функцию , где , к виду
Получаем разложение в сходящийся ряд
В итоге подинтегральная функция представима сходящимся на рядом
.
Ряд сходится равномерно на окружности . Поэтому ряд можно почленно интегрировать по окружности . В результате получаем равенство
.
т.е. степенной ряд вида с коэффициентами
Эти коэффициенты cn не зависят от выбора точки z или окружности , так как воспользовавшись формулой для производной получаем для cn необходимую формулу.
Билет №35 Разложение функции, регулярной в кольце в ряд Лорана.
Всякая функция ω = f(z), регулярная в кольце ρ < | z − a | < R, где , представима в этом кольце суммой сходящегося ряда Лорана
,
коэффициенты которого определяются по формулам
, где ,
причем ориентация окружности | ζ − a | = r положительная.
Доказательство.
Покажем что каждый коэффициент cn в формулу не зависит от выбора . Функция регулярна в кольце ρ < | ζ − a | < R. Для любых чисел определим окружности . По обобщенной теореме Коши получаем равенство
что и требовалось для доказательства независимости интеграла от выбора при каждом .
Зафиксируем произаольную точку z0 в кольце ρ < | z − a | < R. Выберем числа r1,r2 такие, что ρ < r1 < | z0 − a | < r2 < R, и окружности ориентированные положительно. Тогда контур , является границей кольца r1 < | z − a | < r2, в котором по интегральной формуле Коши получаем
.
Рассмотрим интеграл I2. Повторяя рассуждения для вывода формулы Тейлора получаем
где
Рассмотрим интеграл I1. Представим в виде ряда
По признаку Вейерштрасса ряд сходится равномерно , его можно почленно интегрировать, получаем
Заменяя в формуле номера (n + 1) на ( − m) получаем равенство
,
где
Так как точка z0 была выбрана в данном кольце произвольно, то складывая ряды получаем ряд Лорана.