Изолированные особые точки однозначного характера.
Определение
1. Пусть функция f не регулярна в
точке
,
но регулярна в некоторой проколотой
окрестности этой точки. Тогда точку a
называют изолированной особой точкой
функции f.
Определение
2. Изолированная точка
функции
называется
1)устранимой
особой точкой, если существует конечный
предел
;
2)полюсом,
если существует
;
3)существенно
особой точкой, если не существует
конечного или бесконечного предела
.
Билет №36 Вычеты.
Править
Определение
1. Пусть
-
изолированная особая точка регулярной
функции
.
Пусть
-
положительно ориетированная окружность,
причем 0 < r < ρ. Тогда вычетом
функции f в точке a называется
число
Вычисление интегралов по замкнутому контуру при помощи вычетов.
Пусть
дана область
с
кусочно-гладкой положительно ориетированной
границей Γ. Пусть функция f определена
и регулярна на G всюду, за исключением
конечного числа изолированных особых
точек
и
пусть к тому же функция f непрерывно
продолжима на границу области G.
Тогда справедлива формула
.
Доказательство.
Пусть
область G ограничена. Так как число
особых точек
конечно,
то существует число r > 0 такое, что
,
причем замыкание этих кругов попарно
не пересекаются. Определим множество
.
Множество
тоже
является областью с кусочно-гладкой
границей
,
где γk суть окружности
,
ориентированные по ходу часовой стрелки.
Получили, что f регулярна на
и
непрерывна на
что и дает формулу 14.