Билет №14 Формула Грина.

Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывно дифференцируемы в односвязной области , а простой кусочно гладкий контур ограничивает область . Тогда справедлива формула Грина

где есть положительно ориентированная граница области G.

Доказательство.

Докажем сначала формулу (1) в наиболее простом случае, когда область G еще и элементарна относительно обеих координатных осей, т.е. существуют такие кусочно непрерывно дифференцируемые и непрерывные функции , и , что

.

Примерами таких областей являются внутренности круга, эллипса, треугольника.

Применяя формулу сведения двойного интеграла к повторному, получаем равенства

Добавленные интегралы по вертикальным отрезкам DE и NA равны нулю, так как на этих отрезках x = const. Аналогично доказывается формула

Складывая равенства (2) и (3) получаем формулу Грина (1).

Пусть теперь область G по-прежнему ограничена кусочно гладкой замкнутой кривой . Предположим её можно кусочно гладкой простой кривой Γ разбить на две области простейшего вида рассмотренные выше. Тогда

,

Применяя формулу Грина в каждой из областей G₁ и G₂, получаем при складывание, что интегралы по Γ и Γ ⁻ взаимно уничтожается и мы опять приходим к формуле Грина. При помощи математической индукции легко обобщить на случай односвязной области.

Потенциальные векторные поля на плоскости.

Векторное поле , заданное на области , называется потенциальным в области G, если существует непрерывно дифференцируемая функция такая, что

на G.

Функцию U называют при этом потенциальной функцией поля или потенциалом поля .

Билет №15 Формула Остроградского-Гаусса.

Пусть - ограниченная область, граница которой есть кусочно гладкая поверхность, ориентированная внешними нормалями. В задано непрерывно дифференцируемое векторное поле . Тогда поток векторного поля через границу области равен тройному интегралу от по области G, т.е.

или

Доказательство.

Докажем сначала формулу Остроградского-Гаусса в одном важном частном случае, когда область G еще и элементарна относительно всех трех координатных осей. Напомним, что область G называется элементарной относительно оси z, если найдутся две такие непрерывные в замыкании области функции и ψ(x,y), что

.

Применяя формулу сведения тройного интеграла к повторному, получаем

.(3)

Здесь Σ₁ - поверхность, являющаяся графиком функции ψ(x,y), a Σ₂ - поверхность, являющаяся графиком функции .

Соленоидальные векторные поля.

Кусочно гладкую поверхность, являющуюся границей ограниченной односвязной области, в дальнейшем для краткости будем называть допустимой. Непрерывно дифференцируемое в области G поле будем называть соленоидальным, если поток вектора через любую допустимую поверхность равен нулю.

Билет №16 Формула Стокса.

Формула Стокса для простой гладкой поверхности.

Пусть в ориентированном евклидовом пространстве задана простая поверхность Σ уравнением

.(1)

Здесь Ω - замкнутая область, граница которой есть положительно ориентированный гладкий (или кусочно гладкий) контур (при обходе границы область Ω остается слева). Пусть задается уравнениями

.(2)

Образ кривой при отображении (1) мы назвали положительно ориентированным краем поверхности Σ и обозначили .

Напомним, что ориентация поверхности Σ, создаваемаяя полем нормалей , называется согласованной с положительной ориентацией края. Было показано, что такое согласование совпадает с известным правилом правого винта.

Пусть в окрестности поверхности Σ задано непрерывно дифференцируемое векторное поле . Если γ - замкнутый контур, то криволинейный интеграл в физике называют циркуляцией векторного поля по контуру γ. Если , то говорят, что поверхность Σ натянута на контур γ.