27) Основные свойства двойного интеграла

1. (Аддитивность) Если функция f(x,y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две области D₁ и D₂, не имеющих общих внутренних точек, то функция f(x,y) интегрируема в каждой из этих областей, причем справедливо равенство

2. (Линейное свойство) Если функции f(x,y);g(x,y) интегрируемы в D, а α и β – любые действительные числа, то функция [α*f(x,y)+β*g(x,y)] также интегрируема в области D, причем

3. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D и всюду в этой области , то

4. Если f(x,y) интегрируема в области D, то и функция интегрируема в D, причем

Зам. Важно отметить, что из интегрируемости в области D, вообще говоря, не следует интегрируемость f(x,y).

5. (Теорема о среднем значении) Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной квадрируемой области D, то в этой области D найдется такая точка , что , где S – площадь области D.

28)Понятие повторного интеграла для X-правильных областей.

На плоскости рассмотрим замкнутую обл-ть , огранич-ую 2-мя прямыми: , и 2-ми кривыми: , , где , − непрерывные на функции, причем для всех .

d

c

Для такой обл-ти выполняются условия: она замкнута, ограничена и такова, что прямая, параллельная и проходящая через любую внутренную точку , пересекает границу этой обл-ти не более чем в 2-х точках. Такая обл-ть назыв-ся областью типа II (второго типа) или x-правильной.

Пусть фун-я непрерывная в замкнутой обл-ти типа II. Тогда при каждом фиксированном значении сущ-т интеграл (здесь ). Функция непрерывна на , если функция непрерывна в обл-ти и фун-ии , непрерывны на .

Интегрируя фун-ю на , получим некоторое постоянное число : (1). Выражение в правой части (1) называется повторным (двукратным) интегралом от функции по области типа II.

Для вычисления (1) сначала вычисляется внутренний интеграл , полагая при этом постоянной. Затем вычисляется интеграл .

29) Понятие повторного интеграла для y-правильных областей.

На плоскости рассмотрим замкнутую обл-ть , огранич-ую 2-мя прямыми: , и 2-ми кривыми: , , где , − непрерывные на функции, причем для всех .

Для такой обл-ти выполняются условия: она замкнута, ограничена и такова, что прямая, параллельная и проходящая через любую внутренную точку , пересекает границу этой обл-ти не более чем в 2-х точках. Такая обл-ть назыв-ся областью типа I (первого типа) или y-правильной.

Пусть фун-я непрерывная в замкнутой обл-ти типа I. Тогда при каждом фиксированном значении сущ-т интеграл (здесь ). Функция непрерывна на , если функция непрерывна в обл-ти и фун-ии , непрерывны на .

Интегрируя фун-ю на , получим некоторое постоянное число : (1). Выражение в правой части (1) называется повторным (двукратным) интегралом от функции по области типа I.

Для вычисления (1) сначала вычисляется внутренний интеграл , полагая при этом постоянной. Затем вычисляется интеграл .