4) Определение ф-и от неск пер. График ф-и 2х пер.

Опр. Пусть n>0-фиксир∈N. Пусть D-непустое мн-во точек Rⁿ. Если каждой т М(x₁,x₂,…,x_n)∈D по нек правилу f ставится в соотв-е действит число u, то говорят что на мн-ве D задана ф-я n пер. х₁,x₂,…,x_n, вида u=f(M) или u=f(х₁,x₂,…,x_n) или f:DàR. При этом множ D наз областью определения ф-и f, обозн D(f). Пусть точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) cоотвàчисло u=f(x₁⁰,x₂⁰,…,x_n⁰) др словами f(M₀)=u₀. Тогда число f(M₀) наз частным знач f в т М₀. Множ всех частных значений ф-и f наз областью значений, обозн Е(f). Т.о любая ф-я n пер. явл отображением f:RⁿàR, т.е D(f)⊂Rⁿ, т.е отобр Rⁿ в R.

Замеч. Точно так же как ф-ю одной пер, ф-ю многих пер можно задавать различными способами: аналитически, словестно, таблицей, графически(от 1,2), компьютерным.

Замеч. Задать ф-ю f, это означ 1) задать обл опр этой ф-и D(f) и 2) указать правило f по кот VM∈D опред f(M).

Оказывается ф-ю 2х пер, вида z=f(x,y) можно ещё изобразить графически. Пусть дана ф-я двух пер, D=D(f), графиком этой ф-и Г наз множ {P(x,y,z)∈R³|z=f(x,y), ∀(x,y)∈D}. Для этого нужно построить систему ОХУZ. Как правило графиком ф-и двух пер z=f(x,y) явл нек пов-ть в нек пр-ве R³

5) Предел ф-и неск пер. Осн теоремы о пределах.

Пусть задана ф-я z=f(x,y) или z=f(M) на нек мн-ве D=D(f), D⊂R² и пусть М₀(х₀, у₀)-предельная т множ D.

Опр. (на языке ℰ,δ) Число b наз пределом ф-и f(M) в точке М₀, если ∀ℰ>0 ∃δ>0, что VM∈D и удовл усл: 0<ρ(M₀, M)<δ=>|f(M)-b|<ℰ. Обозн =b или =b

Опр. (на яз послед) Число b наз пределом ф-и z=f(M) в т М₀, если ∀ послед-ти точек {M_n}àM₀, M_n≠M₀ соотв послед значений ф-и {f(M)} сх-ся к b. Так же как для ф-и одной пер эти 2 опр равносильны.

Утв. Из опред предела ф-и на яз послед вытекает что если для 2х различ послед точек {M_n’}àM₀ и {M_n”}àM₀ послед-ть знач ф-и {f(M_n’)}àA, a {f(M_n”)}àB; A≠B, то не сущ.

Опр. Число d наз пределом ф-и f(M) при Мà∞ если ∀ℰ>0 ∃r>0, что ∀M(x,y)∈D и ρ(0,M)>rà|f(M)-d|<ℰ. Обозн =d, или =d

Для ф-и неск пер сохр все известные т. о пределах для ф-и одной пер, а именно:

Т1. Если =А и =В, то справедливы след соотнош: 1) =C*A, где С=const.

2) ]=A±B

3) *g(M)]=A*B

4) = , если B≠0

6) Непрер ф-и неск пер. Точки разрыва.

Пусть задана ф-я z=f(M) или z=f(x,y) на D⊂R² и пусть М₀(х₀, у₀)-предельная т мн-ва D, причём М₀∈D.

Опр. Ф-я z=f(M) наз непрерывной в т М₀ если: 1)∃ 2) =f(M₀).

Опр. (на яз ℰ,δ) Ф-я z=f(M) наз непрерывной в т М₀ если ∀ℰ>0 ∃δ>0, что ∀M∈D и удовл усл ρ(М,М₀)<δà|f(M)-f(M₀)|<ℰ.

Опр. Предельная т М₁ мн-ва D(f) наз. Точкой разрыва ф-и f, если в этой т. М₁ ф-я f(M) не явл непрер.

Опр. Приращением или полным приращением ф-и f(M) в т. М₀(х₀, у₀) наз. разность Δf(M)=f(M)-f(M₀), ∀M∈D(f) или разность Δz=f(x,y)-f(x₀, y₀) или Δz=f(x₀+Δx, y₀+Δy)-f(x₀, y₀), где Δx=x-x₀, Δy=y-y₀.

Замеч. Заметим, что приращение ф-и Δf или Δz сама явл. ф-ей М. если f(x,y)(двух), то Δf х и у (двух).

Опр. Ф-я z=f(M) наз. непрер. в т. М₀, если =0 ó[это опр. равносильно данному ранее]ó -f(M₀)]=0ó =f(M₀)

Опр. Пусть задана ф-я z=f(M) или z=f(x,y) в нек обл-ти D⊂R². Пусть М₀-фиксир. т. из D, а М(x,y)-произв. т. D. Частным приращением ф-и f(x,y) в т. М₀(х₀,у₀) по х наз. разность Δ_xz=f(x₀+Δx, y₀)-f(x₀, y₀), где Δx=x-x₀. Аналогично: част приращ. по у в т. М₀(x₀, y₀): Δ_yz=f(x₀, y₀+Δy)-f(x₀, y₀), где Δy=y-y₀.

Опр. Ф-я z=f(x,y) наз. непрер. в т М₀ по переменной х, если _xz(М₀)=0.

Опр. Ф-я z=f(x,y) наз. непрер в т М₀ по переменной у, если _yz(М₀)=0.

Т. Если ф-я z=f(x,y) непрер в т М₀, то она непрер в этой т по х и по у. (Док. самост.(в книге нет!))

Замеч. Утв. Обратное этой Т. вообще говоря не верно.

Опр. Всякая ф-я Р(х,у)=φ₀(х)+φ₁(х)у+…+φ_n(x)yⁿ, n∈N, φ_k(x)-многочлен от х, наз. многочленом 2х переменных х,у.

Т. Всякий многочлен Р(х,у) непрер. в каждой т R².