17) Дифференциалы высших порядков.

Напомним, что если функция Z=f(x,y)диффер. в области D, то дифференциал первого порядка этой ф-ии в некоторой точке M(x,y)E D представляется в виде , где dx= x , dy = y – произвольные приращения независимых переменных x и y. Если зафиксировать приращения x и y то дифференциал dZ будет функцией переменных x и y в области D.Следовательно можно рассмотреть понятие дифференциала от ф-ии dZ.

Опр. Дифференциал от дифференциала первого порядка dZ ф-ии Z=f(x,y) в точке M(x,y), соответсвующего приращения x, y называется дифференциалом второго порядка ф-ии Z=f(x,y) в этой точке и обозначается символом т.е. =d(dZ).Теперь пользуясь правилами дифференцирования и учитывая, что приращения dx= dy = здесь постоянные величины, найдём выражение для считая что dZ – дифференцируемая ф-я в т.M(x,y). = + = .Итак , .

Опр. Дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка ф-ии Z=f(x,y) в т.M(x,y) называется дифференциалом n-го порядка ф-ии Z=f(x,y) в этой точкеи обозначается символом .Таким образом .

Если ф-я Z=f(x,y) n раз дифференцируема в данной т. то с помощью метода мат. индукции можно показать что в этой точке можно выразить символической формулой: Отсюда применив формулу бинома Ньютона получаем формулу для вычисления : :

18) Формула Тейлора.

Т. Пусть ф-я Z=f(x,y) определена в некоторой окрестности K( ) точки и n+1 дифференцируема в этой окрестности. Тогда полное приращение =f(M) – f( этой ф-ии в т. для любой точки может быть представлена в виде (1): где а – некоторая точка из данной окрестности т.

19) Неявные функции. Дифференцируемость неявных функций.

Опр1 Если каждому значению переменной x из некоторого множества D ставится в соответствие определенное число y так, что упорядоченная пара (x,y) удовлетворяет уравнению вида , то говорят, что y является неявной функцией переменной x , заданной на множестве D посредством функционального уравнения .

Т1 Пусть относительно функции выполняются следующие условия:

1. определена и непрерывна вместе со своими частными производными и в некоторой -окрестности точки .

2. В точки имеет место равенство .

3. .

Тогда уравнение определяет единственную дифференцируемую в некоторой -окрестности точки неявную функцию , причем производная этой неявной функции вычисляется по формуле: .

Опр2 Если каждой паре из некоторого множества G ставится в соответствие единственное число z так, что упорядоченная тройка удовлетворяет функциональному уравнению , то говорят, что на G задана неявно функция вида посредством функционального уравнения .

Т2 Пусть относительно функции выполняются следующие условия:

1. определена и непрерывна вместе со своими частными производными в некоторой - окрестности точки

2. 

3. 

Тогда уравнение определяет единственную дифференцируемую в некоторой окрестности точки неявную функцию вида , которая удовлетворяет равенству , причем частные производные функции , в указанной окрестности определяются по формулам: