42) Восстановление функции по ее полному дифференциалу

Т еорема1: Пусть P(x,y) и Q(x,y) определены и непрерывны в некоторой односвязной области D вместе со своими производными и . Тогда, для того чтобы выражение P(x,y)dx + Q(x,y)dyбыло полным дифференциалом некоторой функции U(x,y) области Dнеобходимо и достаточно, чтобы

ПустьA(x₀,y₀) – фиксированная точка из D.B(x,y) – произвольная точка из D.

Если выполняется условие теоремы1, то . Ее можно восстановить по формуле:

(1), с – произвольная постоянная.

З амеч:Ясно, что при выполнении условий теоремы1 криволинейный интеграл правой части формулы (1) не зависит от пути интегрирования в области D. Поэтому в качестве пути интегрирования, можно выбрать любой путь, который будет удобен для вычисления интеграла.В качестве пути интегрирования для интеграла из (1) берут либо L₁=AMB либо L₂=ANB.

; dy=0, dx=dx; ; dx=0, dy=dy

Аналогично можно получить вторую формулу для направления L₂=ANB

44) Криволинейные интегралы по длине дуги(первого рода).

L=AB-Спрямляемая кривая на xOy.

z=f(M) или z=f(x,y)-определена на кривой L,т.е. M(x,y) L f(M)

Разобьём кривую L на n частей

A= , , ,…, =B

На каждой дуге (k=1,2,…,n) выберем произвольным образом ( , ),(k=1,2,…,n)

= * -длина дуги

Меняя способ разбиения L и выбор можно составлять сколько угодно сумм вида . Обозначим их

Обычно сумма вида называется интегральной суммой f(x,y),заданной на кривой L=AB.

Обозначим через =max , 1 k n

Опр1. число называется пределом при 0,если для 0, 0,что как только | - | независимо ни от способа разбиения кривой L на частичные дуги,ни от выбора

=

Опр2. Если конечный предел интегральных сумм при 0,то называется криволинейным интегралом от f(x,y) по длине дуги .

= d

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода:

Пусть L-гладкая простая кривая

(1)

Теорема1: Если z=f(x,y) непрерывна на гладкой кривой ,заданной параметрически системой (1),то = d ,причём

= d = dt (2)

Замечание: Если L явл-ся кусочно гладкой,т.е. L= ,где -гладкие,то d =