11) Дифференцируемость функций нескольких переменных. Понятие дифференциала.
Пусть
функция Z=f(x,y) определена в области
D и
– некоторая внутренняя
точка
этой области. Придадим значениям
и
соответственно произвольные приращения
и
так, чтобы точка
.
Рассмотрим полное приращение функции
f(x,y) в точке
:
.
Опр.
Функция Z=f(x,y) называется дифференцируемой
в точке
,
если ее полное приращение в этой точке
может быть представлено в виде:
,
где А, В – некоторые не зависящие от
и
числа, а
и
- некоторые функции, стремящиеся к нулю
при стремлении к нулю
и
(т.е.
,
при
),
при чем α=0, β=0 при 𝚫x=0
и 𝚫y=0
Опр.
Функция Z=f(x,y) называется дифференцируемой
на множестве G, если она дифференцируема
в каждой точке из G. Обычно равенство
называют условием дифференцируемости
функции Z=f(x,y) в данной точке
.
линейное относительное для
и
.
Опр.
Главная, линейная относительно приращения
и
,
часть приращения
дифференцируемой в точке
функции Z=f(x,y) называется дифференциалом(или
полным дифференциалом) функции Z=f(x,y) в
точке
и обозначается символом dZ или df(
).
Итак,
или
, если x и y – независимые переменные, то
полагают dx=
и dy=
тогда формулы имеют вид:
или
12) Необходимые условия дифференцируемости функции двух переменных
Пусть функция Z=f(x,y) определена в области D и – некоторая внутренняя точка этой области. Придадим значениям и соответственно произвольные приращения и так, чтобы точка . Рассмотрим полное приращение функции f(x,y) в точке : .
Т1 Если функция Z=f(x,y) дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Т2
Если функция Z=f(x,y) дифференцируема в
точке
то в этой точке существуют обе частные
производные
и
причем
,
,
где A, B – числа из
.
След. Если функция Z=f(x,y) дифференцируема в точке , то представление ее полного приращения в виде единственно.
Из теоремы 2 следует, что коэффициенты А и В из представления равны и соответственно, т.е. для дифференцируемой в точке функции Z=f(x,y) представление единственно и его можно записать так:
.
Теорема 1 и теорема 2 являются необходимым условием дифференцируемости функции заданной в точке.
13) Достаточные условия дифференцируемости функции двух переменных
Т. (Достаточные условия дифференцируемости ф-й нескольких переменных) Для ф-й нескольких переменных существование частных производных в т. М0 недостаточно для дифференцируемости в т. М0 .Справедливо утверждение. Теорема(дост.условие дифференцируемости ф-и f(x,y)в т. М0) Для дифференцируемости ф-и z=f(x,y) в т.М0(x0,y0) достаточно чтобы:1)в некоторой окрестности К(m0,∆) точки М0(х0,у0) существовали частные производные f’x(x,y) и f’y(x,y) 2)эти частные производные были непрерывны в самой точке М0
Опр. Ф-я Z=f(x,у) называется дифференцируемой на множестве D, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Т. Всякий многочлен Р(x,y) от двух переменных x и у, является дифференцируемой ф-ей в любой точке Мо(х0,у0) из R2xy