- •1. Випадкові події, їх класифікація, приклади. Класичне правило обчислення ймовірностей
- •2. Множення.
- •8. Ймовірність появи однієї з двох сумісних подій. Узагальнення теореми
- •9. Незалежні події. Ймовірність добутку двох незалежних подій. Узагальнення теореми
- •10. Залежні події. Умовна ймовірність. Ймовірність добутку двох подій. Узагальнення теореми
- •11.Теорема про повну ймовірність
- •12. Формули Байєса
- •15. Інтегральна теорема Муавра-Лапласса. Інтегральна функція Лапласса, властивості функції.
- •16.Теорема Пуассона. Поняття найвірогіднішого числа, властивості
- •17. Означення випадкових величин, дискретні і неперервні випадкові величини. Закон розподілу вв та многокутник розподілу.
- •18.Функція розподілу. Означення, властивості, графік.
- •19.Щільність ймовірностей. Властивості, графік
- •20. Залежні і незалежні випадкові величини. Операції над випадковими величинами
- •21. Математичне сподівання двв. Властивості математичного сподівання
- •22.Дисперсія двв і її властивості. Середнє квадратичне відхилення
- •23. Початкові і центральні моменти двв. Мода, медіана, асиметрія, ексцес.
- •24.Неперервні випадкові величини. Числові характеристики нвв.
- •25.Означення багатовимірної випадкової величини. Двовимірна випадкова величина. Закон розподілу двовимірної випадкової величини. Умовний розподіл
- •26.Функція розподілу п-вимірної випадкової величини. Функція розподілу двовимірної в.В. Властивості функції розподілу.
- •27.Коваріація та її властивості. Коефіцієнт кореляції. Властивості коефіцієнта кореляції
- •28.Біномний закон розподілу. Числові характеристики
- •29. Закон розподілу Пуассона, числові характеристики, використання
- •30. Геометричний розподіл, числові характеристики, використання
- •31. Гіпергеометричний закон розподілу, числові характеристики.
- •33. Інтегральна фунція розподілу та щільність ймовірностей показникового розподілу, графіки, числові характеристики.
- •34. Нормально розподілена випадкова величина. Графік щільності нормального розподілу, властивості функції. Правило трьох сигм.
- •35. Розподіли: хі-квадрат, Стьюдента та логнормальний. Числові характеристики
- •37. Предмет, методи і завдання математичної статистики. Об`єм сукупності
- •38. Генеральна та вибіркові сукупності. Статистичний розподіл вибірки
- •39. Полігон частот і відносних частот
- •40. Гістограма частот і відносних частот
- •41. Емпірична функція розподілу f*(X) та її властивості
- •42. Вибіркова середня та її властивості. Степеневі середні вибірки
- •44. Мода і медіана статистичного розподілу вибірки, коефіцієнт варіацій, варіаційний розмах.
- •47. Означення довірчого інтервалу. Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу
- •48. Статистичні гіпотези та їх різновиди. Помилки першого та другого роду
- •49. Статистичний критерій. Потужність критерію. Рівень значущості критерію
- •50. Критична область. Області прийняття гіпотез. Алгоритм перевірки статистичної гіпотези
- •51. Критерій узгодження Пірсона. Алгоритм використання критерію Пірсона
- •52. Критерій узгодження Колмогорова
- •53. Метод моментів та метод максимальної правдоподібності знаходження точкових оцінок
- •54. Метод найменших квадратів при знаходженні точкових оцінок
- •55. Поняття про функціональну, статистичну і кореляційну залежності.
- •56. Рівняння лінійної регресії. Довірчий інтеграл для лінії регресії
2. Множення.
Добутком подій А і В називається така подія С=АВ (С=АВ), яка настає з одночасним настанням подій А і В.
Операція АВ називається перерізом подій А і В:
А
В
АВ
Наприклад, якщо подія А є влучення в ціль при першому пострілі, подія В – при другому, то подія С = АВ полягає в тому, що в цілі влучили при обох пострілах.
3. Віднімання.
Різницею подій А і В називається така подія С=А-В (С=А\В), яка настає з настанням події А і одночасним настанням події В.
А
В
А\В
7. Ймовірність появ однієї з двох несумісних подій. Узагальнення і наслідки. Імовірність появи однієї з двух несумісних подій, байдуже якої, дорівнює сумі ймовірності цих подій
, якщо А та В несумісні (адитивність)
Наслідок 1. Якщо події А1, А2 , …, Аn є єдиноможливими і несумісними, то складна подія А, яка полягає в відбуванні А1 чи А2, чи … , чи Аn, є достовірною і тому Р(А)=1, тобто Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.
Наслідок 2. Подія , яка полягає в тому, що подія А не відбувається, називається пртилежною подією до А. Сума ймовірностей взаємно протилежних подій дорівнює одиниці: =1.
8. Ймовірність появи однієї з двох сумісних подій. Узагальнення теореми
Додавання ймовірностей сумісних подій. Ймовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи:
Узагальнення теореми (на випадок n=3 сумісних подій)
9. Незалежні події. Ймовірність добутку двох незалежних подій. Узагальнення теореми
Дві події називають незалежними, якщо ймовірність їхнього суміщення дорівнює добутку ймовірностей цих подій; у протилежному випадку події називають залежними.
Кілька подій називають попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні. Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.
Декілька подій називають незалежними у сукупності (чи просто незалежними), якщо незалежні кожні дві з них і незалежна кожна подія і всі можливі добутки останніх. Наприклад, якщо події , , незалежні в сукупності, то незалежні події і , і , і ; і , і , і . Зі сказаного випливає, що якщо події незалежні в сукупності, то умовна ймовірність появи будь-якої події з них, обчислена у припущенні, що наступили будь-які інші події з числа останніх, дорівнює її безумовній ймовірності.
Ймовірність спільної появи декількох подій, незалежних у сукупності, дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
.
Доведення. Розглянемо три події: А, В і С. Поєднання подій А, В і С рівносильне поєднанню подій АВ і С, тому
.
Оскільки події А, В і С незалежні в сукупності, то незалежні, зокрема, події АВ і С, а також А і В. За теоремою множення для двох незалежних подій маємо:
i .
Отже, остаточно одержимо
.
10. Залежні події. Умовна ймовірність. Ймовірність добутку двох подій. Узагальнення теореми
Випадкові події А і Б називають залежними, якщо імовірність появи однієї з них залежить від появи чи не появи другої події. Імовірність події В, обчислена при умові появи події А називають умовною імовірністю події В і позначають Р(В!А) чи Ра.
Імовірність сумісної появи двох випадкових подій А і В дорівнює добутку імовірностей однієї з цих подій та умовної імовірності другої події при умові, що перша подія з`явилася. Р(А*В)=Р(А)*Ра(В)=Р(В)*Рв(А).