52. Критерій узгодження Колмогорова

У статистиці критерій узгодженості Колмогорова (також відомий, як критерій узгодженості Колмогорова — Смирнова) використовується для того, щоб визначити, чи підкоряються два емпіричних розподіли одному закону, або визначити, чи підкоряється одержаний розподіл деякій моделі.

Нехай X=(X₁,..., X_n) — вибірка з розподілу . Перевіряється проста гіпотеза проти складної альтернативи . У цьому випадку, коли розподіл має неперервну функцію розподілу F₁, можна користуватися критерієм Колмогорова. Хай: . Якщо гіпотеза H₁ невірна, то X_i мають якийсь розподіл , відмінний від . за теоремою Глівенко — Кантеллі: для будь-якого y коли . Оскільки , то знайдеться таке y₀ що | F₂(y₀) − F₁(y₀) | > 0. Але . Домножаючи на отримаємо при , що . Нехай випадкова величина η має розподіл з функцією розподілу Колмогорова: , t>o Цей розподіл табульований, так що по заданому ε легко знайти C таке, що ε=P( ) Критерій Колмогорова виглядає так: .

53. Метод моментів та метод максимальної правдоподібності знаходження точкових оцінок

Метод моментів знаходження оцінок в математичній статистиці — це спосіб побудови оцінок, заснований на порівнянні теоретичних і вибіркових моментів.Коротко, метод моментів описується так: "Ми маємо певну вибірку, і припускаємо що вона задається певним розподілом з параметрами. Ми обчислюємо скільки моментів цього розподілу скільки параметрів, і прирівнюємо їх до відповідних моментів вибірки. Так як моменти розподілу є функціями від параметрів, то отримаємо систему рівнянь відносно параметрів, і з неї отримуємо результат."

Алгоритм:

1. обчислюємо n теоретичних початкових моментів

2. за елементами вибірки х1, х2,…хn обчислюємо m відповідних емпіричних моментів

3. прирівнюємо теоретичні і відповідні їм емпіричні моменти і отримуємо систему рівнянь відносно компонент оцінюваного параметра

4. розв`язуючи отриману систему рівнянь точно чи наближено знаходимо потрібні оцінки.

Суть методу максимальної правдоподібності полягає в тому, що ми будуємо функцію правдоподібності , яка залежить від вибірки і невідомих параметрів.

Якщо розподіл компонент є абсолютно неперервним і щільність кожної компоненти дорівнює , то функція правдоподібності записується так

,

якщо ж розподіл компонент є дискретним і , то

.

Значення невідомих параметрів приймаються у тих точках, де функція правдоподібності набуває свого найбільшого значення.

54. Метод найменших квадратів при знаходженні точкових оцінок

Метод найменших квадратів — метод знаходження наближеного розв'язку надлишково-визначеної системи. Часто застосовується в регресійному аналізі. На практиці найчастіше використовується лінійний метод найменших квадратів, що використовується у випадку системи лінійних рівнянь. Зокрема важливим застосуванням у цьому випадку є оцінка параметрів у лінійній регресії, що широко застосовується у математичній статистиці і економетриці.

55. Поняття про функціональну, статистичну і кореляційну залежності.

Показником, що вимірює стохастичний зв’язок між змінними, є коефіцієнт кореляції, який свідчить з певною мірою ймовірності, наскільки зв’язок між змінними близький до строгої лінійної залежності.

За наявності кореляційного зв’язку між змінними необхідно виявити його форму функціональної залежності (лінійна чи нелінійна), а саме: ;

;

Наведені можливі залежності між змінними X і Y називають функціями регресії. Форму зв’язку між змінними X і Y можна встановити, застосовуючи кореляційні поля, які зображені на рисунках

Для двовимірного статистичного розподілу вибірки ознак (Х, Y) поняття статистичної залежності між ознаками Х та Y має таке визначення:

статистичною залежністю Х від Y називають таку, за якої при зміні значень ознаки Y = y_i змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Х, статистичною залежністю ознаки Y від Х називають таку, за якої зі зміною значень ознаки X = x_i змінюється умовний статистичний розподіл ознаки Y.

Між ознаками Х та Y може існувати статистична залежність і за відсутності кореляційної. Але коли існує кореляційна залежність між ознаками Х та Y, то обов’язково між ними існуватиме і статистична залежність