47. Означення довірчого інтервалу. Довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання нормального розподілу

Інтервал , що покриває оцінюваний параметр θ ге­неральної сукупності з заданою надійністю , називають довірчим. Кінці довірчого інтервалу є випадковими величинами

Надійні інтервали для оцінки математичного сподівання

нормального розподілу при відомому .

Нехай відомо, що випадкова величина Х розподілена нормально і - її середнє квадратичне відхилення. Потрібно побудувати інтервальну оцінку для невідомого математичного сподівання . Точковою оцінкою для математичного сподівання є вибіркове середнє . (5)

Середнє вибіркове є різним для окремо взятих вибірок з генеральної сукупності, отже його можна розглядати як випадкову величину , а значення як однаково розподілені незалежні випадкові величини ( ). Оскільки значення незалежні, то

, ,

Вважаємо, що - відома величина.

Нерівність (6)

повинна виконуватись із заданою ймовірністю

або, замінивши нерівність (6) еквівалентною нерівністю, отримаємо

, (7)

Пригадаємо, що для нормально розподіленої випадкової величини Х з параметрами а і ймовірність попадання в інтервал визначається за формулою

де - функція Лапласа (табульована).

Тоді співвідношення (7) можна переписати так .

Позначивши , маємо рівняння ; (8)

Таким чином, остаточно отримаємо

Тобто побудований надійний інтервал (9)

заключає в собі невідомий параметр а (математичне сподівання) з ймовірністю . Число при заданому значенні знаходимо із таблиці значень функції Лапласа.

Висновки:

1) при збільшенні обсягу вибірки число зменшується, тобто точність оцінки

збільшується;

2) зростання надійності веде до збільшення , отже, до зростання , або до зменшення точності.

48. Статистичні гіпотези та їх різновиди. Помилки першого та другого роду

Статистичними називають гіпотези про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.

Наприклад, статистичними будуть гіпотези: генеральна сукупність розподілена за нормальним законом; дисперсія двох сукупностей, розподілених за законом Пуассона, рівні між собою.

Гіпотезу, що підлягає перевірці, називають основною. Оскільки ця гіпотеза припускає відсутність систематичних розбіжностей (нульові розбіжності) між невідомим параметром генеральної сукупності і величиною, що одержана внаслідок обробки вибірки, то її називають нульовою гіпотезою і позначають Н₀. Зміст нульової гіпотези записується так: ; ; . Кожній нульовій гіпотезі можна протиставити кілька альтернативних (конкуруючих) гіпотез, які позначають символом Н_, що заперечують твердження нульової. Так, наприклад, нульова гіпотеза стверджує: , а альтернативна гіпотеза — , тобто заперечує твердження нульової.

Гіпотезу називають простою, якщо вона містить лише одне припущення, складною, якщо вона складається із скінченної чи нескінченної кількості простих гіпотез.

Якщо за висновком буде відкинута правильна гіпотеза, то кажуть, що це помилка першого роду. Якщо за висновком буде прийнята неправильна гіпотеза, то кажуть що це помилка другого роду.