17. Методика розв’язування тригонометричних рівнянь та нерівностей

В ШКМ починають із розв'язування найпростіших типів рівнянь типу: виду , , . Ще у 9-му класі учням пропонують знайти за таблицями значення гострих кутів, якщо , . Завдання виразити всю множину розв'язків рівняння ставлять в 10-му класі. Тут же знайомлять учнів з записом розв'язку тригонометричних рівнянь.

Рівняння	Множина розв’язків	Умова
		a є R a є R

Розв'язування тригонометричних рівнянь слід супроводжувати розв'язуванням коренів на одиничному колі і на графіках функцій.

приклад: соsх= 1/2. Знайдемо величину кута х, косинус якого 0,5 користуючись колом.

, , ,

. Але рівняння соsх=1/2 задаємо не менше та й і враховується періодичність функції косинус буде: ,x є Z x = ,a є Z

Це рівняння має безліч розв'язків. І особливо добре це видно з графіка, побудувати одночасно графіки у=соsх, у=1/2 Побудуй графік

В ШКМ слід розглядати найпростіші тригонометричні рівняння з параметрами. Треба дати учням зрозуміти добре, що при рівняння не має розв'язків, його задовольняють всі значення 2Пк, при ф=-1 - всі значення (2к+1)П, при всі значення ,к є Z. Коли учні зрозуміють як слід розв'язувати найпростіші завдання, їх слід ускладнювати до таких як , ,

Т-тригонометрична функція. Тригонометричні нерівності більш складний для розуміння учнів матеріал. Тут потрібно поступово підводити учнів до її вивчення, постійно повторювати вивчене на уроках. На простих нерівностях розглядають аналітичним і графічним способом.

18. Тотожні перетворення тригонометричних виразів, основні тригонометричні тотожності.

Основні тригонометричні формули

Формули для суми аргументів

Формули подвійного кута

Формули перетворення добутків функцій

Формули перетворення суми функцій

Обернені тригонометричні функції

Розв’язок найпростіших тригонометричних рівнянь

Якщо дійсних розв’язків не існує

Якщо роз’язком є число виду

Якщо розв’язків не має

Якщо роз’язком є число виду

Розв’язком є число виду

Розв’язком є число виду

19 Методика вивчення показникової функції. Показникові рівняння та нерівності

Показникова функція означається так: Показниковою називається функція, задана рівністю де а>0 і . У зв'язку з цим виникає запитання: навіщо потрібно обмеження ? Припустимо, що основа а=1, тоді степінь а^х при будь-якому значення у=1, і тоді він не залежить від х. Коли під функцією розуміли тільки залежну змінну величину, таке обмеження було необхідне. Показникову функцію можна задати графічно за допомогою функціональної шкали. При першому ознайомленні з показниковою функцією бажано розглядати такі властивості: 1). Обл.. визначення - R.. 2). Множина значень - R+. 3). Показникові функція зростає при а>1 і спадає при а<1.

На уроці слід побудувати кілька графіків при різних значеннях а.

Функція у=а^х зростаюча при а > 1 і спадна при 0<а<1

Рівняння називаються показниковими, якщо невідомі в ньому містяться в показнику степеня. В школі звичайно розв'язують найпростіші показникові рівняння. Слід застерегти учнів від досить поширених помилок, коли вони з певних причин втрачають розв'язки, або вказують зайві. Для розв’язування показникових рівнянь загального методу немає, тому слід користуватися такими правилами: 1) якщо основа двох степенів і степені рівні, причому основа і , то показники степенів також рівні, тобто якщо , то . 2) Якщо у рівних степенів показники степенів рівні , то рівні і основи степенів, тобто , , то .

Найпростішим показниковим рівнянням є . При і , рівняння коренів не має; при рівняння має єдиний корінь.

Розглянемо ще рівняння виду . Тоді вводиться заміна і отримуємо елементарне рівняння ; і розв'язуємо звівши до .

Під час розв’язування нерівності виду використовують властивість монотонності показникової функції.

Функція у=а^х, якщо а>1 – зростає, а якщо 0<a<1 – спадає.

Для а>1 більшому значенню функції відповідає більший показник. Отже, для а>1 розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування нерівності f(x)>φ(x). Якщо 0<a<1, показникова функція спадає, тобто більшому значенню функції відповідає менший показник, і для 0<a<1 розв’язування нерівності зводиться до розв’язування нерівності f(x)<φ(x).

Приклади:

1) 3^2-х>27. перепишемо дану нерівність у вигляді 3^2-х>3³. оскільки тут а=3 і 3>1, то 2-х>3. Звідси

-х >1; х<-1.

2) Зведемо дану нерівність до спільної основи:

Оскільки а<1, то 3х>2x-4, x>-4.

20. Методика вивчення первісної та інтеграла в шкільному курсі алгебри та початків аналізу.

Поняття первісної вивчається в 10 класі і вводиться так: знаючи похідні деяких функцій, доводиться розв'язати обернену задачу - з похідної відновити функцію. Розглянемо конкретний приклад: Похідною якої функції є Зх², учні зразу ж здогадаються, що це . після розгляду кількох подібних прикладів слід сформулювати означення: F назив. первісною функцією функції f на заданому проміжку, якщо кожному х з цього проміжку: Наступним етапом повинно бути з'ясування неоднозначності первісної. Спочатку треба розглянути декілька прикладів: , .

Далі формулюємо основні властивості первісної: якщо на деякому проміжку для функції f первісною є F, то первісною для неї на цьому проміжку є також функція , де

Далі показуємо, що коли f - неперервна і невід'ємна на [а,b], а S - площа криволінійної трапеції обмежена графіком ф-ї, віссю х і 1, проведених до х в т. а і b. Тоді , F - первісні для f на проміжку [а,b]. Потім пристосовуємо до розв'язування задач на визначення площі криволінійної трапеції.

Нехай функція f має на деякому проміжку первісну. Сукупність усіх первісних для функції f(x) на проміжку називають невизначеним інтегралом цієї функції і позначають . функцію f(x) називають підінтегральною функцією. З доведених теорем випливає, що = F{x) + С, де F(x) — яка-небудь первісна для функції f(x) на даному проміжку, С — довільна стала (її називають сталою інтегрування). Наприклад, функція sin x є первісною для функції cos x на проміжку (- ; + ), тому можна записати, що

Користуючись таблицею похідних, можна скласти таблицю первісних (таблицю невизначених інтегралів) для функцій, по­хідні яких відомі.