Правила диференціювання.

1)Похідна суми двох ф-ій дорівнює сумі похідних цих ф-ій. .

Доведення: Дамо аргументу приріст . Тоді ф-ії , отримають в свою чергу приріст , оскільки зв’язані рівністю . Тоді

.

Звідси . Знайдемо границю , або , що й треба було доказати.

2)Похідна від добутку двох функцій дорівнює

3)Сталий множник можна винести за знак похідної.

4)Похідна від частки двох ф-ій дорівнює: .

Похідна складеної функції Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню χ зна­чення функції у, яка задана формулою у = .

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 – x², а потім за значенням u обчислити у = f(u) = .

!Отже, функція g ставить у відповідність числу x число u, а функ­ція f — числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функцій g і f, і пишуть у = f(g(x))·

Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміж­ною змінною, функцію f(u) — зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g(x)) в довільній точ­ці х, спочатку обчислюють значення й внутрішньої функції g, а потім f(u).

14. Методика вивчення числових функцій. Границя функції в точці. Неперервні і розривні функції.

. .Числова функція. В алгебрі і початках аналізу окремо позначається числова фу –я: числовою фу-ю назив. залежність між елементами двох множин дійсних чисел Х і У, при якій кожному числу х з множини Х відповідає деяке цілком визначене число у з множини У. Цю залежність записують , де х – аргумент; у – функція. При цьому множина Х наз. областю визначення фу-ї і записується , а множина У – областю значень фу-ї, і запис. .

Границя функції в точці — фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

Нехай , — гранична точка множини A. Число a називається границею функції у точці якщо

Позначення:

або

Означення за Гейне: Якщо для довільної послідовності точок взятої з області визначення відповідна послідовність значень функції збігається до того самого числа то це число називають границею функції в точці.

Непере́рвна фу́нкція — одне з основних понятть математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції, що можна записати так коли Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення. Означення: Функція дійсної змінної, яка означена в області неперервна в точці якщо для довільного знайдеться таке (яке залежить від ), що з випливає Функція неперервна в області якщо неперервна в кожній точці цієї області. Нехай гранична точка множини A. Означення неперервності в точці Функція f називається неперервною в точці якщо: 1) функція f(x) визначена в точці x0. 2) існує границя . 3)

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду

15. Методика вивчення тригонометричних функцій. Їх властивості, графіки та похідні

В даний час питання тригонометрії вивчаються у 10-11 класах у рамках 85 - годинного курсу "Алгебра і початки аналізу". У вивченні тригонометричних функцій можна виділити наступні етапи:

I. Перше знайомство з тригонометричними функціями кутового аргументу в геометрії. Значення аргументу розглядається в проміжку (0 о; 90 о). На цьому етапі учні дізнаються, що sin, сos, tg і ctg кута залежать від його градусної міри, знайомляться з табличними значеннями, основним тригонометричним тотожністю і деякими формулами приведення.

II. Узагальнення синуса, косинуса, тангенса і котангенс для кутів (0 о; 180 о). На цьому етапі розглядається взаємозв'язок тригонометричних функцій і координат точки на площині, доводяться теореми синусів і косинусів, розглядається питання вирішення трикутників за допомогою тригонометричних співвідношень.

III. Введення понять тригонометричних функцій числового аргументу.

IV. Систематизація і розширення знань про тригонометричні функції числа, розгляд графіків функцій, проведення дослідження, в тому числі і за допомогою похідної.

Тригонометрична функція задана формулою y=sinх

Властивості функції y=sinх:

1. Область визначення - проміжок (-∞;+∞).

2. Область значень – проміжок [-1;1].

3. Функція непарна, періодична з періодом Т=2П.

4. Функція зростає при -П/2+2Пn<х<П/2+2Пn, n є Z.

5. Функція спадає при П/2+2Пn<х<3П/2+2Пn, n є Z.

6. Функція має максимум у точках (П/2+2Пn;0), мінімум у точках (-П/2+2Пn;0), nє Z.

Тригонометрична функція задана формулою y=cosх

Властивості функції y=cosх:

1. Обл. визначення - проміжок (-∞;+∞).

2. Область значень – проміжок [-1;1].

3. Функція парна, періодична з періодом Т=2П.

4. Функція зростає при -П+2Пn<х<2Пn, nє Z.

5. Функція спадає при 2Пn<х<П+2Пn, nє Z.

6. Функція має максимум у точках (2Пn;0), мінімум у точках (П+2Пn;0), nєZ.

Тригонометрична функція задана формулою y=tgх

Властивості функції y=tgх:

1. Обл. визначення – всі дійсні числа, крім точок (П/2+2Пn), nєZ.

2. Область значень – проміжок (-∞;+∞).

3. Функція непарна, періо-дична з періодом Т= П.

4. Нулі функції – точки (Пn;0), nєZ.

5. Функція зростає на всій області визначення.

6. Функція не має екстремумів.

Тригонометрична функція задана формулою y=ctgх

Властивості функції y=ctgх:

16 Застосування похідної для дослідження функцій

За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції.

Відомо, що функція y = f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, із умови х₂ > х₁ випливає, що f(x₂) > f(x₁).

Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, як видно з рис. 32, утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична паралельна осі ОХ).

В иходячи із геометричного змісту похідної: tg α = f’(x_o), це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова: .

Ф ункція y = f(x) називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать цьому проміжку, із умови х₂ > х₁ випливає, що f(x₂) < f(x₁). Дотична в кожній точці графіка спадної функції (рис. 33) утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорів­нює нулю, тому для функції f(x), яка спадає на деякому проміжку, вико­нується умова f'(x) < О.

Н а рис. 34 видно також, що одна і та ж функція може на одному про­міжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер по­ведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її по­хідної.

Отже, наочне уявлення дозволяє сформулювати властивості зроста­ючих та спадних функцій.

Якщо функція у = f(x) диферен­ційована і зростає на деякому про­міжку, то її похідна на цьому про­міжку не від'ємна.

Якщо функція у = f(x) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не додатна.

П роте для розв'язування задач особливо важливими є обернені твердження, які ви­ражають ознаки зростання і спадання функ­ції на проміжку. Нехай значення похідної функції у = f(x) додатні на деякому про­міжку, тобто f'(x) > 0. Оскільки f'(x) = tg α, то із умови tg α > 0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напря­мом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає (рис. 35).

Я кщо f'(x) < 0 на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної tg α = f(x) до графіка функції у = f(x) від'ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ ту­пий кут і графік функції на цьому проміжку «опускається», тоб­то функція f(x) спадає (рис. 36).

Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

Якщо f(x) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

Ці два твердження називаються ознака­ми зростання (спадання) функції на про­міжку.

Строге доведення цих тверджень виходить за рамки шкільного курсу математики.

Проміжки зростання і спадання функції часто називають про­міжками монотонності цієї функції.