21. Методика розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей. Системи рівнянь та нерівностей

Логарифмічними рівняннями називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

Приклади логарифмічних рівнянь:

lg х = 1 + lg²x, log₃(x + 3) = 9, = і т. д.

Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд log х = b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0. За означенням логарифма випливає, що х = а^b.

Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння такий:

log_a x = log_a b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0, b > 0.

Із цього рівняння випливає, що х = b. Дійсно із рівності log_a x = log_a b на підставі означення логарифма і основної лога­рифмічної тотожності маємо:

x = = b.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння log_x a = b, де х > 0, х ≠ 1, а > 0.

За означенням логарифма маємо:х^b = а, звідси х = .

В основному, всі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв'я­зувати, зводяться до розв'язування найпростіших рівнянь.

Як відомо, логарифмічна функція у = log_а х зростає при a > 1, спадає — при 0 < a < 1. Із зростання функції у = log_а x у першому випадку і спадання — у другому випадку випливає:

1) При a > 1 нерівність log_а х₂ > log_а х₁ рівносильна системі

2) При 0 < a < 1 нерівність log_а х₂ > log_а х₁ рівносильна системі

22 Методика вивчення логарифмічної функції, її властивості, графіки, похідні. Похідна оберненої функції. Тотожні перетворення логарифмічних виразів

Поняття логарифмічної функції. Спробуємо знайти форму­лу функції, оберненої до показникової функції у = а^х.

Функція у=а^х зростаюча при а > 1 і спадна при 0<а<1 За достатньою умовою існування оберненої функції до даної функція у=а^х має обернену на області визначення D(f)=R (відповідно область значень цієї функції E(f) = (0; + )).

Розв'яжемо рівняння у = а^х з двома невідомими відносно невідомої х. Оскільки х є показником степеня а^х, то, застосовуючи означення логарифма, матимемо х=log_а у = ф (у). Діста­ли формулу функції, оберненої до функції у=а^х=f(х).

3. Поміняємо позначення аргументу і функції у формулі оберненої функції. Дістанемо y=log_аx=ф (x). — формулу функції, оберненої до функції у=а^х у прийнятих позначеннях аргументу і функції. Одержана обернена функція дістала наз­ву логарифмічної функції.

Логарифмічною називається функція у=1оg_aх, де а > 0 і а ≠1, обернена до показникової у=а^х.

Означення логарифма можна коротко записати так: .

Ця рівність справедлива при b > 0, a > 0, a ≠ 1 називається основною логарифмічною тотожністю.

Відомо, що область визначення і область значень взаємно обернених функцій міняються множинами. Тому D(φ) =(0;+ ), E(φ) =R.

Графік функції у = log_аx можна дістати з графіка функції у = а^х, симетрично відобразивши останній відносно прямої у = х. Для цього достатньо для кожної точки М(с;d) графіка у=а^х побудувати точку М(d; с), симетричну їй відносно прямої у= х.