Вопрос 36 Количественная оценка тесноты связи по эмпирическим данным: эмпирический коэффициент детерминации, эмпирическое корреляционное отношение. Ответ

Количественная оценка тесноты связи по эмпирическим данным состоит в расчете показателей тесноты связи:

• Эмпирический коэффициент детерминации (эмпирическое дисперсионное отношение) - ².

Данный показатель рассчитывается по данным аналитической группировки (табл.), как отношение межгрупповой дисперсии признака-результата Y (_y²) к общей дисперсии Y (_y²):

.

Согласно теореме о разложении дисперсии межгрупповая дисперсия связана с общей дисперсией: _y²=_y²+_y². Тогда эмпирический коэффициент детерминации может быть рассчитан через остаточную дисперсию по формуле:

где _j² – дисперсия признака-результата Y внутри j-ой группы.

Эмпирический коэффициент детерминации характеризует силу влияния группировочного признака (Х) на образование общей вариации результативного признака Y и показывает процент (долю) вариации признака-результата, обусловленную признаком-фактором, положенным в основу группировки.

Расчет ² удобно вести в таблице:

Таблица

Признак- фактор Хj	Nj	Среднее значение признака-результата		j2Nj
X1	N1			12N1
X2	N2			22N2
....				...
Xm	Nm			m2Nm
Итого	N	Х		j2

Тогда .

Рассмотрим пример. Пусть дана совокупность из 20 рабочих, характеризующихся признаками: Y - выработка рабочего (шт./смену) и Х- квалификация (разряд). Исходные данные представлены в таблице:

X	4	5	3	6	5	3	4	6	3	5	7	5	8	7	6	6	8	7	8	8
Y	11	13	10	17	12	12	14	18	13	15	18	16	27	20	15	17	24	22	25	23

Требуется оценить тесноту связи между признаками с помощью эмпирического коэффициента детерминации (²).

Для расчета ² произведем аналитическую группировку совокупности. В качестве признака-фактора возьмем Х (разряд рабочего), в качестве признака-результата – Y выработку рабочего). Аналитическая группировка производится по признаку Х. В данном случае она будет дискретная (т.к. значения признака Х довольно часто повторяются). Количество групп равно числу значений признака Х в совокупности, т.е. 6. Результаты группировки и расчета ² сведем в таблицу:

Признак-фактор Х	Признак-результат Y	Количество единиц в группе, Nj	Среднее значение признака-результата в группе,	( - )2·Nj	Дисперсия признака-результата в группе, 2j	2j·Nj
3	10	3	(10+12+13)/3=11,7	(11,7-17,1)23=88,56	21=((10-11,7)2+(12-11,7)2+(13-11,7)2)/3=1,56	4,7
	12
	13
4	11	2	(11+14)/2=12,5	(12,5-17,1)22=42,3	22=((11-12,5)2+(14-12,5)2)/2=2,25	4,5
	14
5	12	4	(12+13+15+16)/4= 14	(14-17,1)24=38,4	23=((12-14)2+(13-14)2+(15-14)2+(16-14)2)/4=2,5	10
	13
	15
	16
6	15	4	(15+17+17+18)/4= 16,75	(16,75-17,1)24=0,49	24=((15-16,75)2+(17-16,75)2++(17-16,75)2+(18-16,75)2)/4=1,9	4,75
	17
	17
	18
7	18	3	(18+20+22)/3=20	(20-17,1)23=25,23	25=((18-20)2+(20-20)2+(22-20)2)/3=2,7	8
	20
	22
8	23	4	(23+24+27+25)/4= 24,75	(24,75-17,1)24=234,1	26=((23-24,75)2+(24-24,75)2+(27-24,75)2+(25-24,75)2)/4=2,19	8,75
	24
	27
	25
	=17,1	20		429,1		40,7

Эмпирический коэффициент детерминации равен отношению межгрупповой дисперсии признака-результата (_y²) к общей дисперсии признака-результата (_y²): ² = _y²/_y² = _y²/(_y²+_y²).

Межгрупповая дисперсия Y будет равна: _y²= ( - )²·N_j / N = 429,1/20=21,45.

Остаточная дисперсия Y будет равна: _y²= ²_j·N_j/ N= 40,7/20= 2,035.

Тогда: ²=21,45/(21,45+2,035)= 429,1/(429,1+40,7)=0,913.

Вывод: 91,3% вариации выработки рабочих обусловлена влиянием фактора разряд.

• Эмпирическое корреляционное отношение - .

Данный показатель представляет собой корень из эмпирического коэффициента детерминации. Оно показывает тесноту связи (не только линейной!) между группировочным и результативным признаками. Область допустимых значений эмпирического корреляционного отношения от 0 до +1.

Максимально тесная связь – это связь функциональная, когда каждое значение признака-результата Y однозначно определяется значением признака-фактора Х (т.е. результатом группировки). В этом случае дисперсия групповых средних (_y²) равна общей дисперсии (_y²), т.е. внутригрупповой вариации не будет. При этом остаточная дисперсия (_y²) равна 0, а эмпирический коэффициент детерминации равен 1.

Если связь между признаками отсутствует, то все групповые средние равны между собой, межгрупповой вариации не будет (_y²=0), а эмпирический коэффициент детерминации равен 0.

Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение для нашего примера: = 0,9555. Вывод: признаки «выработка рабочего» и «разряд» связаны довольно тесной связью.

Показатели  и ² определяются не только наличием связи признаков Х и Y, но и фактом группировки первичных данных. С ростом числа групп m межгрупповая дисперсия ² растет и приближается к общей дисперсии. Если число групп меньше количества единиц совокупности N, то значения  и ² никогда не будут равны 1, даже при строгой функциональной связи.

Заметим, что сама по себе величина показателя тесноты связи не является доказательством наличия причинно-следственной связи между исследуемыми признаками, а является оценкой степени взаимной согласованности в изменениях признаков. Установлению причинно-следственной зависимости должен обязательно предшествовать анализ качественной природы явлений.