- •Предисловие
- •Глава 1. Введение
- •1.1. Предмет строительной механики и ее задачи
- •1.2. Кинематический анализ сооружений
- •1.2.1. Связи и их реакции
- •1.2.2. Степени свободы и статическая определимость системы
- •1.2.3. Изменяемые системы
- •1.2.4. Способы образования и структурный анализ
- •1.2.5. Аналитическое исследование системы
- •1.3. Основные уравнения строительной механики
- •Глава 2. Расчет статически определимых стержневых систем
- •2.1. Свойства статически определимых систем
- •2.2. Внутренние усилия в рамах
- •2.2.1. Определения и порядок построения эпюр
- •2.2.2. Построение эпюр в простых рамах
- •2.2.3. Построение эпюр в составных рамах
- •2.3. Расчет плоских ферм
- •2.3.1. Основные понятия
- •2.3.2. Метод сечений
- •2.3.3. Метод вырезания узлов
- •2.4. Расчет трехшарнирных арок
- •2.4.1. Основные понятия
- •2.4.2. Внутренние усилия в арке
- •2.4.3. Рациональная ось арки
- •Глава 3. Определение перемещений в
- •3.1. Работа сил, приложенных к твердому телу
- •3.2. Работа сил, приложенных к деформируемому телу
- •3.3. Общие теоремы строительной механики
- •3.4. Работа внутренних сил плоской стержневой системы
- •3.5. Интеграл Мора-Максвелла
- •3.6. Формула Верещагина
- •3.7. Примеры определения перемещений
- •Глава 4. Расчет статически неопределимых балок и рам методом сил
- •4.1. Свойства статически неопределимых систем
- •4.2. Суть метода сил. Канонические уравнения мс
- •4.3. Определение внутренних усилий
- •4.4. Проверка правильности решения
- •4.5. О выборе ос мс. Признаки ортогональности эпюр
- •4.6. Расчет симметричных систем
- •4.7. Расчет неразрезных балок
- •Глава 5. Расчет статически неопределимых арок и ферм методом сил
- •5.1. Расчет статически неопределимых ферм
- •5.2. Расчет статически неопределимых арок
- •Глава 6. Расчет статически неопределимых систем методом перемещений
- •6.1. Суть метода перемещений. Основная система мп
- •6.2. Канонические уравнения метода перемещений
- •6.3. Вычисление коэффициентов канонических уравнений
- •6.4. Общий метод вычисление коэффициентов
- •Глава 7. Понятие о расчете снс методом конечных элементов
- •7.1. Суть метода конечных элементов
- •7.2. Применение мкэ для расчета стержневых систем
- •Литература
- •Оглавление
1.2.5. Аналитическое исследование системы
Как уже отмечалось, этот метод исследования систем является самым общим.
Суть метода. Уравнения равновесия для определения опорных реакций исследуемой системы можно представить в виде:
[A] {X} = {B}, (1.6)
где [A] – матрица коэффициентов при неизвестных;
{X} – вектор-столбец неизвестных опорных реакций;
{B} – вектор-столбец нагрузки.
При этом для СОС любому вектору {B} однозначно соответствует единственный вектор {X}, что возможно только при условии: det [A] 0.
Учитывая, что в силу (1.5) СОС одновременно являются НС, можно сделать вывод, что необходимым и достаточным условием неподвижной системы будет:
det [A] 0. (1.7)
Наоборот, необходимым и достаточным условием подвижной системы является:
det [A] = 0. (1.8)
Таким образом, для кинематического анализа системы достаточно вычислить определитель матрицы соответствующей системы алгебраических уравнений. Но можно избежать даже этой процедуры, учитывая некоторые сложности которые она вызывает уже при четвертом порядке определителя.
Метод нулевой нагрузки. Рассмотрим однородную систему уравнений, соответствующую (1.6):
[A] {X} = {0}. (1.9)
Известно, что она имеет только нулевое решение, если det [A] 0, и наоборот – условием ненулевого решения будет: det [A] = 0.
Отсюда – следующее правило:
1) Если система (1.9) имеет решение {X} = {0}, то соответствующая механическая система является неподвижной;
2) Если система (1.9) имеет решение {X} {0}, то соответствующая механическая система является подвижной.
Пример 1.4. Выполнить кинематический анализ рамы (рис. 1.18).
Рис.1.18
Решение. Воспользуемся методом нулевой нагрузки, применив графический способ решения (рис. 1.19).
Рис.1.19
Из условия равновесия диска АЕ следует, что реакции RA и RE направлены по прямой АЕ (аксиома 2).
Из условия равновесия диска EBF следует, что реакция RF проходит через точку K, где пересекаются линии действия RE = RE и RB (теорема о трех силах).
Из условия равновесия диска FCG аналогично находим линию действия реакции RG, проходящей вдоль прямой GL.
Наконец, рассмотрим диск DG . По аксиоме 2 реакция RG = RD должна быть направлена вдоль прямой GD, соединяющей точки их приложения. С другой стороны, RG = RG действует по прямой GL. Одновременно удовлетворить этим требованиям можно, лишь полагая RG = 0, откуда следует, что все реакции равны нулю, а, значит, {X} = {0} и система будет неподвижной.
Примечания:
1. Подобно тому, как СНС, которые мы рассмотрим в 4 главе, могут быть статически неопределимыми внешним и внутренним образом, можно говорить о системах, изменяемых аналогично. Поэтому в общем случае вектор {X} в системе (1.6) должен содержать компоненты реакций не только внешних, но и внутренних связей.
2. Отметим, что в последнем примере 1.4 мы остаемся в рамках аналитического метода анализа геометрической изменяемости системы, несмотря на то, что при реализации метода нулевой нагрузки применялся графический способ определения реакций связей. Такой прием вполне оправдан, поскольку формальный подход потребовал бы вычисления определителя десятого порядка.
3. Анализ системы уравнений (1.6), независимо от условия (1.5), позволяет получить полную характеристику механической системы, включая степени ее свободы и статической неопределимости.
4. При построении модели сооружения ее параметры определяются с некоторой степенью точности, поэтому опасность на практике представляют не только МИС, но и близкие к ним – у которых det [A] 0.