4.6. Расчет симметричных систем

При расчете симметричных систем можно упростить структуру системы канонических уравнений за счет обращения в ноль как коэффициентов d_ij, так и свободных членов D_ip⁰.

В первом случае соответствующий прием носит название группировки неизвестных, во втором – результат достигается с помощью разложения нагрузки на симметричную и обратносимметричную.

Группировка неизвестных применяется для рам, у которых реакции лишних связей представлены только симметричными неизвестными. Примером служит рама на рис. 4.10, а для выбранной на рис. 4.10, б основной системы, где в канонических уравнениях:

d₁₁ X₁ + d₁₂ X₂ + D_1p⁰ = 0;

d₂₁ X₁ + d₂₂ X₂ + D_2p⁰ = 0;

все коэффициенты отличны от нуля.

Чтобы упростить эту систему, перейдем от неизвестных X₁ и X₂ к новым неизвестным X₁ и X₂ по формулам:

X₁¢ = (X₁ + X₂)/2; (4.12)

X₂¢ = (X₁ - X₂)/2;

где обратное преобразование:

X₁ = X₁¢+ X₂¢; (4.13)

X₂ = X₁ X₂;

имеет наглядный смысл. При этом неизвестные X₁ и X₂ соответствуют новой основной системе (рис. 4.10, в), для которой эпюры`M<sub>1</sub><sup>0</sup> и`M₂⁰ ортогональны (рис. 4.10, г, д), а d₁₂ = 0, поэтому соответствующая система канонических уравнений распадается на два независимых уравнения:

d₁₁ X₁ + D_1p⁰ = 0,

d₂₂ X₂ + D_2p⁰ = 0.

Определив групповые или обобщенные неизвестные X₁и X₂, можно с помощью (4.13) вернуться к старым переменным X₁ и X₂.

Рис.4.10

Разложение нагрузки на симметричную и обратносимметричную рассмотрим на следующем примере (рис. 4.11, а), где в соответствии с принципом суперпозиции в такой форме представлена заданная нагрузка (рис. 4.11, б, в). Для выбранной основной системы (рис. 4.11, г) d₁₂ = 0 и расчет от симметричной нагрузки приводит к системе канонических уравнений:

d₁₁ X₁⁽¹⁾ + D_1p⁰⁽¹⁾ = 0, (4.14)

d₂₂ X₂⁽¹⁾ = 0.

При этом D_2p⁰⁽¹⁾ = (`M<sub>2</sub><sup>0</sup>´ M<sub>p</sub><sup>0(1)</sup>) = 0 в силу ортогональности обратносимметричной эпюры `M₂⁰ и симметричной эпюры M_p⁰⁽¹⁾ от первого загружения (рис. 4.11, б). Поэтому решением (4.14) будет X₁⁽¹⁾  0, X₂⁽¹⁾ = 0.

Расчет рамы от второго варианта загружения (рис. 4.11, в) приводит к системе канонических уравнений:

d₁₁ X₁⁽²⁾ = 0; (4.15)

d₂₂ X₂⁽²⁾ + D_2p⁰⁽²⁾ = 0,

так как в этом случае равен нулю свободный член D_1p⁰⁽²⁾ = (`M₁⁰´ M_p⁰⁽²⁾). Ее решением будет X₁⁽²⁾ = 0, X₂⁽²⁾  0.

Искомые реакции от заданной первоначальной нагрузки равны сумме соответствующих реакций от каждого варианта загружения:

X₁ = X₁⁽¹⁾ + X₁⁽²⁾ = X₁⁽¹⁾; (4.16)

X₂ = X₂⁽¹⁾ + X₂⁽²⁾ = X₂⁽²⁾.

Рис.4.11

Полученный результат можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема. В симметричных системах, загруженных симметричной нагрузкой, обратносимметричные неизвестные равны нулю и, наоборот – в симметричных системах, загруженных обратносимметричной нагрузкой равны нулю симметричные неизвестные.

Примечания:

1. Очевидно, что суть рассмотренных методов одинакова: в первом случае суммой симметричных и обратносиметричных сил представляют реакции, во втором – приложенную нагрузку.

2. Рассмотренные приемы расчета удобны для сравнительно простых систем с небольшим числом неизвестных, когда они имеют наглядную интерпретацию. Однако такая идея симметризации неизвестных может быть обобщена на решение произвольных систем алгебраических уравнений.

3. Пример рамы на рис. 4.10, б носит иллюстративный характер – в данном случае решение можно было упростить за счет выбора рациональной основной системы (рис. 4.10, е), для которой d₁₂ = (`M<sub>1</sub><sup>0</sup>´`M₂⁰) = 0. Отметим, что основная система при этом остается несимметричной.