Глава 7. Понятие о расчете снс методом конечных элементов

7.1. Суть метода конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) является обобщением рассмотренного выше метода перемещений на двух- и трехмерные системы. Он успешно применяется для расчета самых разнообразных строительных конструкций и сооружений, в том числе – тонкостенных систем и массивов.

В отличие от классических форм МС и МП МКЭ является компьютерным методом. Он появился в 60-е годы прошлого века и в настоящее время является самым распространенным методом расчета, реализованным в большинстве систем автоматизированного проектирования.

Особенность метода в том, что он позволяет решать задачи теории упругости методами строительной механики.

Реализация МКЭ включает следующие этапы:

1) Разбиение конструкции на конечные элементы с учетом ее геометрии, физических свойств материала и нагрузки;

2) Анализ отдельного конечного элемента (КЭ), в ходе которого строится матрица жесткости КЭ – [R_э] и определяется вектор приведенной узловой нагрузки – {P_э};

3) Анализ всей конструкции и формирование системы конечно-элементных уравнений:

[R] {Z} = {P} , (7.1)

где [R], {Z} и {P} – соответственно матрица жесткости, вектор неизвестных и вектор приведенной узловой нагрузки всей системы;

4) Решение системы уравнений и определение по вектору {Z} напряжений и усилий в отдельных конечных элементах.

Отметим, что под конечным элементом понимают часть конструкции, которая обладает всеми ее физическими свойствами и имеет несколько фиксированных узловых точек с введенными в них связями, которыми КЭ связаны друг с другом.

Уже к 70-м годам прошлого века была создана хорошо апробированная система конечных элементов, приспособленных для решения самых разнообразных задач.

При решении плоской задачи и задачи изгиба для пластин и плит применяют треугольные и прямоугольные КЭ с различным числом степеней свободы. Для решения трехмерных задач применяют КЭ в виде параллелепипеда или тетраэдра. Разработаны конечные элементы для решения осесимметричных задач и целое семейство плоских и криволинейных КЭ для расчета оболочек.

МКЭ прекрасно приспособлен для решения практических задач и позволяет с высокой степенью точности аппроксимировать границу области, занятой телом. Помимо строительной механики и теории упругости МКЭ находит применение в решении широкого круга задач математической физики.

7.2. Применение мкэ для расчета стержневых систем

Расчет стержневых систем с помощью МКЭ приводит к тем же уравнениям, что и обычный метод перемещений, хотя подходы к их построению несколько отличаются по форме.

При этом КЭ рамы с 6 степенями свободы имеет на концах два узла, в каждом из которых введено по три связи – две линейных и одной моментной.

Матрица жесткости такого КЭ имеет 6 порядок и ее элементами являются реакции r_ij в шести введенных связях от единичных смещений этих связей.

Компонентами вектора приведенной узловой нагрузки являются взятые со знаком минус реакции во введенных связях от приложенной к КЭ нагрузки, которые, в отличие от МП будем обозначать не R_ip⁰ , а r_ip⁰:

{P_э}= – [r_1p⁰, r_2p⁰, … , r_6p⁰]^Т,

где индексом «т» обозначена операция транспонирования.

Балочный конечный элемент, на примере которого мы рассмотрим процедуру анализа, имеет только четыре степени свободы. В качестве неизвестных такого КЭ выбирают неизвестные прогибы и углы поворотов в начальном и конечном сечениях, как и в обычном методе перемещений (рис. 7.1, а).

Анализ КЭ заключается в определении реакций во введенных связях {S_э}= [S₁, S₂, S₃, S₄]^Т от кинематических воздействий {Z_э}= [Z₁, Z₂, Z₃, Z₄]^Т и от действующей местной нагрузки. Первая зависимость имеет вид:

{S_э} = [R_э]{Z_э}.

Для построения матрицы жесткости [R_э] рассмотрим КЭ при единичных кинематических воздействиях (рис. 7.1, б), объединив соответствующие им функции формы в матрицу-строку:

[N] = [N₁(x), N₂(x), N₃(x), N₄(x)].

Этим функциям формы соответствуют уже известные эпюры моментов, приведенные на рис. 6.4 и 7.1, в, которые также объединим в вектор:

{M} = [M₁(x), M₂(x), M₃(x), M₄(x)]^Т.

Учитывая, что для принятой системы координат зависимость между изгибающими моментами и прогибами имеет вид

M(x) = – EJ v''(x),

можно записать:

{M} = – EJ [N'']^Т. (7.2)

Воспользовавшись соотношением (6.4):

r_ij = r_ji = (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ·`M_j⁰/EJ )ds ,

получим с учетом (7.2):

[R_э] = (1/ EJ) ∫{M}{M}^Тdx = EJ ∫ [N'']^Т[N''] dx. (7.3)

Для построения вектора приведенной узловой нагрузки учтем, что на основании принципа суперпозиции уравнение изогнутой оси КЭ можно представить в виде:

v(x) = Σ N_i (x) · Z_i = [N]{Z_э}. (7.4)

Поэтому, дополнив соотношение (6.5) работой распределенной нагрузки, приложенной к КЭ, и сменив обозначения, получим:

r_ip⁰ = – [ P_k · N_ik + ∫ q(x) · N_i (x) dx].

Таким образом, искомый вектор приведенной узловой нагрузки равен:

{P_э}=  P_k · [N_k]^Т + ∫ q(x) [N]^Т dx. (7.5)

Как видим, анализ КЭ сводится в конечном итоге к построению матрицы функций формы. Помимо методов, упомянутых в параграфе 6.3, эти функции можно, например, построить следующим способом.

Представим уравнение изогнутой оси КЭ в виде полинома:

v (x) = [H] {a}, (7.6)

где [H] = [1, x, x², x³], а {a} = [a₁, a₁, a₁, a₁]^Т.

Приравнивая (7.4) и (7.6) в узловых точках КЭ, то есть x₁ = 0 и x₂ = l, получим:

Z₁ = v (0) = 1 + a₁x₁+ a₂x₁²+ a₃x₁³ ;

Z₂ = v'(0) = a₁+2a₂x₁+ 3a₃x₁² ;

Z₃ = v (l) = 1 + a₁x₂ + a₂x₂² + a₃x₂³ ;

Z₄ = v'(l) = a₁ +2a₂x₂+ 3a₃x₂²,

или иначе

{Z_э} = [L] {a},

где [L] = [[H(x₁)]^T, [H'(x₁)]^T, [H(x₂)]^T, [H'(x₂)]^T]^Т.

Обратная зависимость

{a} = [L]^–1{Z_э}

после подстановки в (7.6) приводит с учетом (7.4) к искомой формуле:

[N] = [H] [L]^–1. (7.7)

В скалярной форме последняя зависимость имеет вид:

N₁(x) = 1 – 3ξ² + 2 ξ³;

N₂(x) = l (ξ – 2 ξ² + ξ³);

N₃(x) = 1 – 3η ² + 2η ³;

N₄(x) = l (– η + 2η ² – η ³),

где ξ = x/l , η = (l – x)/l .

Подставляя (7.7) в (7.3), получим искомую матрицу жесткости КЭ балки:

[R_э] = EJ ∫ [N]^T[N]dx = (EJ/l) .

Вектор приведенной узловой нагрузки находим по формуле (7.5). Для постоянной равномерно распределенной нагрузки q(x) = q он имеет вид:

{P_э} = [P₁, P₂, P₃, P₄]^Т = (ql/12)[ 6, l, 6, –l ]^Т.

Примечание.

Двумерным аналогом балочного КЭ является прямоугольный КЭ с 12 степенями свободы для расчета плит, изогнутая поверхность которого аппроксимируют полиномом

w(x,y) = [H]{a},

где [H] = [1, x, y, x², xy, y², x³, x²y, xy², y³, x³y, xy³].

В каждой из четырех узловых точек такого КЭ, расположенных в его вершинах, вводят по три связи: линейную, препятствующую вертикальным перемещениям в направлении оси Oz, и две моментные в направлениях осей Ox и Oy.

Этот элемент, как показали проведенные исследования, можно с успехом применять даже для расчета цилиндрических оболочек, если дополнительно ввести по две линейные связи в каждом узле, препятствующие его смещениям вдоль осей Ox и Oy локальной системы координат.