1.9. Соотношения для линий постоянного тока

Под линией постоянного тока подразумеваем однородную двухпроводную линию, подключенную к источнику постоянного напряжения. В установившемся режиме напряжение и ток в любой точке такой линии постоянны по величине.

Основные соотношения для линий постоянного тока можно рассматривать как частный случай соотношений, описывающих синусоидальный режим. Следует лишь положить равной нулю частоту ω. Так, из выражений (1.6) и (1.12) получаем формулы для коэффициента распространения γ и волнового сопротивления Z_в:

(1.92)

Параметры γ и Z_в здесь действительные числа.

Основные расчетные соотношения (1.16), (1.17), (1.19) и (1.20) для определения напряжения и тока в произвольной точке линии приобретают вид:

(1.93)

(1.94)

(1.95)

(1.96)

В приведенных формулах (1.93) – (1.96) U₁ – постоянное напряжение на входе линии; I₁ – постоянный входной ток линии; U₂, I₂ – напряжение и ток в конце линии соответственно.

Так же, как и для синусоидального режима, установившиеся напряжения и токи формируются из прямых и обратных волн. Например, для напряжения, используя уравнения (1.93), записываем:

(1.97)

Результирующее напряжение есть результат наложения прямой и обратной волн:

(1.98)

Соответственно ток линии

(1.99)

где

Коэффициент отражения в конце линии определяется по формуле, аналогичной (1.53):

(1.100)

Здесь r_н – сопротивление активной нагрузки или действительная часть активно-индуктивной. Индуктивность нагрузки влияет только на переходные процессы в линии. В установившемся режиме, т. е. в режиме постоянного тока, индуктивное сопротивление ωL_н = 0. Если нагрузка представляет собой последовательное соединение элементов r_н и С_н, то

(1.101)

поскольку емкость не пропускает постоянный ток и отражение волн происходит так же, как и в режиме холостого хода линии.

Входное сопротивление линии постоянного тока можно определить по формуле (1.52), которая с учетом выражений (1.92) и (1.100) принимает вид:

(1.102)

Условие согласования нагрузки (1.63) в данном случае таково:

(1.103)

т. е. режим согласованной нагрузки определяется только активной частью входного сопротивления приемника энергии. При последовательном соединении r_н и С_н согласование неосуществимо, так как емкостное сопротивление равно бесконечности.

1.10. Определение параметров линии по данным режимов холостого хода и короткого замыкания

Режимы холостого хода и короткого замыкания часто используются для определения первичных и вторичных параметров линий. В этих режимах измеряются входные сопротивления линии и , а все прочие параметры определяются расчетом. Измерения проводятся в синусоидальном режиме. Сначала по значениям и рассчитываются волновое сопротивление и коэффициент распространения γ, а затем по полученным значениям – первичные параметры линии r₀, L₀, g₀, С₀.

Обратимся к формуле (1.52) для входного сопротивления линии.

В режиме холостого хода коэффициент отражения ρ = 1 и входное сопротивление линии (1.52) принимает значение

(1.104)

В режиме короткого замыкания ρ = –1 и входное сопротивление

(1.105)

Произведение полученных значений

(1.106)

откуда

(1.107)

Волновое сопротивление линии в общем случае комплексное число, которое можно представить в виде:

(1.108)

где r_в и x_в – действительная и мнимая части Z_в соответственно.

Деление Z_к.з на Z_х.х дает:

(1.109)

и соответственно формулу:

(1.110)

Формулы (1.107) и (1.110) позволяют определить волновое сопротивление Z_в и коэффициент распространения γ.

Вычисление волнового сопротивления по формуле (1.107) не вызывает затруднений. Определение коэффициента распространения γ, который входит в формулу (1.110) неявно, требует умения оперировать с гиперболическими функциями комплексного аргумента. Один из способов вычисления γ состоит в следующем.

Из формулы (1.110) видно, что th γℓ при фиксированном значении ℓ есть комплексное число, поэтому можно записать:

(1.111)

С другой стороны, левую часть выражения (1.110) можно выразить через экспоненциальные функции с использованием формул (1.18):

(1.112)

Решая уравнение (1.112) относительно , находим:

(1.113)

Подстановка выражения (1.111) в соотношение (1.113) после преобразований приводит к равенству:

(1.114)

где ;

Коэффициент распространения есть комплекс , поэтому равенство (1.114) может быть представлено в форме:

(1.115)

откуда следуют два независимых равенства:

(1.116)

(1.117)

из которых определяются значения коэффициентов затухания α и фазы β:

(1.118)

Присутствие в выражении (1.114) слагаемого 2nπ диктуется тем, что имеет место равенство , т. е. данные функции неразличимы, если их аргумент отличается на 2nπ (n = 0, 1, 2, …). Значение n определяется соотношением между длиной линии ℓ и длиной волны λ. Если , то для удвоенного аргумента 2βℓ должно выполняться условие 2βℓ < 2π и, следовательно, в выражениях (1.114), (1.118) величина n должна быть принята равной нулю. При выполнении условия аргумент 2βℓ находится в пределах 2π < 2βℓ < 2·2π и величина n должна быть принята равной единице. При больших кратностях между длиной линии и длиной волны необходимо проводить соответствующую оценку величины n.

Алгоритм определения первичных параметров линии основывается на использовании следующего приема.

Записываем сначала произведение

(1.119)

а затем дробь

(1.120)

Левая часть выражения (1.119) с учетом (1.108) и (1.118) может быть записана в виде:

(1.121)

Аналогично выражаем и левую часть соотношения (1.120):

(1.122)

Подстановка полученных значений в выражения (1.119) и (1.120) приводит к равенствам:

(1.123)

Комплексные числа, как известно, равны, если равны их действительные и мнимые части. Используя это правило в решении системы уравнений (1.123), приходим к конечным расчетным соотношениям:

(1.124)

В формулах (1.124) x_в > 0 при φ_в > 0, соответственно x_в < 0 при φ_в < 0.

Измерения Z_х.х и Z_к.з осуществляются при синусоидальном напряжении источника и фиксированной частоте. В случае воздушных линий первичные и вторичные параметры зависят от материала, диаметра, а также взаимного расположения проводов. Оказывают влияние на эти параметры и условия расположения линии, и состояние окружающей среды. Параметры электрических кабелей конструктивно являются внутренними, поэтому в случае кабелей рассмотренные измерения и расчеты могут использоваться и для оценки параметров выпускаемой продукции.

Измерения Z_х.х, Z_к.з и расчеты при различных частотах позволяют определить частотную характеристику линии Z_вх = f(ω), а также оценить зависимость первичных и вторичных параметров линии от частоты.