Пример 1.

Вычислить тройной интеграл если тело ограничено поверхностями: y = 1-x², y = z, y = 0, z = 0 (рис. 2).

Тело Т, ограниченное тремя плоскостями y = z, y = 0, z = 0 и параболическим цилиндром y = 1-x², является, как нетрудно видеть, правильным в направлении параллельном оси Oz, т.е. всякая вертикальная прямая, проходящая через внутренние точки тела, пересекает его границу в двух точках.

При этом, прямая x = const, y = const входит в тело при z = 0, а выходит при z = y.

В таком случае интеграл можно записать в виде ( 4):

где D_xy – проекция тела на плоскость Oxy. Так как эта проекция, в свою очередь, является правильной в направлении оси Oy, то искомый интеграл можно записать в виде трехкратного типа ( 5):

Последовательно вычисляя интегралы, получим:

Ответ: I = 0.

Пример 2.

В

1

ычислить тройной интеграл по области Т, ограниченной плоскостями x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1.

Вычисляем данный интеграл по формуле ( 5):

Внутренний интеграл вычисляем, считая x и у постоянными:

Полученную функцию от х и у интегрируем по у, считая х постоянным:

Полученную функцию от х интегрируем по х:

Обычно для сокращения записи все вычисления записывают в одну строку следующим образом:

П ример 3.

Вычислить тройной интеграл если область Т ограничена плоскостями x = 0, y = 0, z = 0 и z = 1-x-y.

В этой задаче область Т можно спроектировать, например, на плоскость yOz. Тогда область Т (рис. 3) имеет нижнюю границу x = 0 и верхнюю границу x = 1-y-z. Область D_yz проектируется в отрезок [0; 1] оси Oy и имеет границы z = 0 и z = 1-y. Переходя к повторному интегрированию, получим:

Пример 4.

Вычислить тройной интеграл , если область Т ограничена плоскостями: x = 1, y = 0, z = 0, x + y + z = 2.

Изобразим область Т (рис. 4).

Выберем порядок следования переменных интегрирования такой: x, y, z, т.е. пирамиду ADEF спроектируем на плоскость Oxy. В этом случае х меняется от 1 до 2. Уравнение прямой AD имеет вид y = 0, а уравнение прямой АЕ получается, если в уравнении x + y + z = 2 плоскости ABC положить z = 0.

Итак, прямая АЕ имеет уравнение y = 2-x. Уравнение плоскости ADE имеет вид z = 0, а уравнение плоскости AEF известно. Если его разрешить относительно z, то получим z = 2-x-y. Теперь в согласии с формулой ( 5) можем написать:

2. Вычисление тройных интегралов в криволинейных координатах.

Как и в случае двойных интегралов, тройной интеграл часто удобно вычислять в криволинейных системах координат. Мы рассмотрим лишь цилиндрические и сферические координаты.

В общем же случае, как и для двойных интегралов, это производится через якобиан преобразования, в котором добавляются частные производные для третьей координаты.

В ведем цилиндрическую систему координат Oz, у которой полюс совпадает с началом координат О прямоугольной декартовой системы координат Oxyz, полярная ось  совпадает с полуосью Ox, а угол φ отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

Будем считать, что 0 <  < +, 0 <  < 2, - < z < +.

Выпишем формулы, выражающие декартовы координаты точки через цилиндрические– они очевидны из рассмотрения рис. 5: x = cos, y = sin, z = z. ( 8)

Эти формулы показывают, что введение цилиндрических координат фактически сводится к введению полярных координат на плоскости Oxy, поэтому переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам может быть осуществлен следующим образом:

(9)

где D_ – та же проекция D_xy тела Т на Oxy, но рассматриваемая в полярных координатах.

Для цилиндрических координат якобиан

.

Введем сферическую систему координат Or (см. рис. 5), у которой полюс совпадает с началом системы координат Oxyz, долгота  отсчитывается от оси Ox в направлении против движения часовой стрелки, а широта  – от оси Oz, r - расстояние точки М от полюса, причем, 0 < r < +, 0 <  < 2, 0 <  < . Выпишем формулы, выражающие декартовы координаты точки через сферические (см. рис. 5):

( 10)

, z = rcosv.

Тогда, поскольку здесь J= r²sin формула перехода в тройном интеграле от декартовых к сферическим координатам будет иметь вид:

(11)

Вопрос о переходе к той или иной системе координат зависит от вида подынтегральной функции и области интегрирования.

Пример 5.

Вычислить тройной интеграл , если область Т ограничена плоскостью y = 2 и параболоидом x² + z² = 2y.

Область Т (рис. 6) ограничена «снизу» параболоидом 2y = x² + z², а «сверху» – плоскостью y = 2. Эта область проектируется в область D плоскости xOz, ограниченную окружностью x² + z² = 4. Последнее уравнение получено в результате исключения y из уравнений плоскости y = 2 и параболоида 2y = x² + z².

Введем цилиндрические координаты:

x = cos, z = sin, y = y.

Так как x² + z² = ²cos² + ²sin² = ², то

В области Т* координата  меняется от 0 до 2,  – от 0 до 2, y – от параболоида ²/2 до плоскости y = 2.

И тогда

Пример 6.

В ычислить тройной интеграл , если область Т ограничена сферой x² + y² + z² = z.

В сферических координатах x² + y² +z² = r², поэтому по формуле ( 11) имеем:

Очевидно, что в области Т*  меняется от 0 до 2,  – от 0 до /2, r – от 0 до cos, т.к. уравнения данной сферы принимает вид r² = rcos, или r = cos.

Тогда имеем: