- •IV. Общая схема построения интегралов.
- •IV. А Двойные и тройные интегралы.
- •1. Построение и вычисление двойных интегралов в декартовых прямоугольных координатах.
- •Измельчая дробление, ищем предел для (1), т.Е.
- •2. Перемена порядка интегрирования.
- •3. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.
- •Пример 16.
- •4. Приложения двойного интеграла
- •Пример 19.
- •Пример 26.
- •Пример 27.
- •1. Построение. Вычисление тройных интегралов в декартовых прямоугольных координатах.
- •Пример 1.
- •Пример 2.
- •2. Вычисление тройных интегралов в криволинейных координатах.
- •3. Приложения тройного интеграла.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •IV. В Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •1. Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги) – кипр.
- •2. Криволинейные интегралы второго рода (по координатам) – кивр.
- •3. Формула Грина и ее применение.
- •4. Условия независимости криволинейных интегралов от формы пути интегрирования ( условия нпи).
- •5. Приложения криволинейных интегралов.
- •1. Поверхностные интегралы первого рода (по площади поверхности).
- •2. Односторонние и двусторонние поверхности.
- •Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.
- •Вычисление пивр
- •3. Формула Остроградского – (Гаусса).
- •4. Формула Стокса.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •В задачах 115 117 вычислить заданный криволинейный интеграл.
5. Приложения криволинейных интегралов.
Площадь области D, ограниченной замкнутым контуром L, находится по формуле:
( 24)
где направление обхода контура L выбрано так, что область D остается все время слева от пути интегрирования.
Пусть L есть плоская кривая с линейной плотностью массы (x, y), тогда
а) масса m кривой L вычисляется по формуле
( 25)
б) координаты центра тяжести кривой L вычисляются по формулам:
( 26)
в) моменты инерции Ix, Iy и I0 соответственно относительно осей Ox, Oy и начала координат равны:
( 27)
Пусть = P(x, y, z) +Q(x, y, z) + R(x, y, z) есть переменная сила, совершающая работу W вдоль пути L, и функции P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) непрерывны на кривой L.
Тогда
( 28)
Пример 19.
Найти массу тонкого стержня, имеющего форму линии x2 + y2 = 1, y > 0, если его линейная плотность в точке M(x, y) равна (x, y) = 1 + (1/2)y.
В данном случае линия L есть верхняя половина единичной окружности, которую легко задать параметрически: x = cost, y = sint, 0 < t < . Поэтому, воспользовавшись формулой ( 25), получим:
Ответ: m = + 1.
Пример 20.
Вычислить момент инерции пружины, состоящей из n витков, относительно ее оси (предполагается, что пружина изготовлена из однородного материала).
С
x
где (x, y) – линейная плотность пружины.
Ответ:
Пример 21.
Найти работу силы при перемещении точки ее приложения от А(1;1;1) до В(2;3;4) по прямой.
Как известно, работа силы (силового поля) может быть вычислена как интеграл второго рода. Формула ( 28) для пространственного случая:
Воспользовавшись известными параметрическими уравнениями прямой, запишем уравнения линии, по которой перемещается точка приложения силы:
x = 1 + t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t, 0 < t < 1.
В силу условия, tнач = 0, tкон = 1. Тогда
Пример 22.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой x = acos3t, y = asin3t, 0 < t < 2 ( рис. 14).
И з формулы Грина вытекает, что (см. ( 20,24))
( *)
где KD – граница области D, проходимая так, чтобы область оставалась слева.
Воспользовавшись этой формулой, получим:
Пример 23.
Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом x = acost, y = bsint.
Из формулы ( 24) следует, что
Пример 24.
Найти массу четверти эллипса x = cost, z = 2sint, расположенной в первом квадранте плоскости xOz, если линейная плотность массы = z.
Из формулы ( 25) следует, что
Из уравнения кривой L находим:
Очевидно, что параметр t меняется от 0 до /2.
Тогда
Положив cost = u, получим:
Пример 25.
Найти координаты центра тяжести однородной дуги циклоиды x = a(t-sint), y = a(1-cost), если (0 < t < 2).
В силу симметрии кривой относительно прямой x = a получаем х0 = . Найдем теперь m, а затем y0. Из уравнения циклоиды находим, что и тогда
Пример 26.
Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат четверти однородной окружности y = 2cost, z = 2sint, лежащей в первом квадранте плоскости yOz.
В силу одинакового расположения кривой по отношению к координатным осям Iy = Iz. По формулам ( 27) получаем:
Пример 27.
Вычислить работу силы при перемещении точки массы m из точки О(0;0) в точку А(1;1) по прямой z = y, лежащей в плоскости yOz.
Из формулы ( 28) следует, что
Так как мы интегрируем по прямой z = y и при перемещении из точки О в точку А y меняется от 0 до 1, получаем:
Поверхностные интегралы.