2. Криволинейные интегралы второго рода (по координатам) – кивр.

Пусть в пространстве Oxyz задана непрерывная кривая АВ, в точках которой определена произвольная функция P(x, y, z).

Проделаем 5 операций:

1. Разобьем кривую АВ на n частей точками М₀, М₁,…,М_n, следующими друг за другом в направлении от А к В (здесь точки М₀, М_n означают, соответственно, А и В). Координаты точек М_k (k = 1, 2, …, n) обозначим через x_k, y_k, z_k, а наибольшую из длин дуг М_k-1 М_k обозначим через .

2. На каждой дуге М_k-1 М_k (k = 1, 2, …, n) выберем произвольным образом по точке N_k( ) и вычислим в них значения функции Р(x, y, z), т.е. найдем числа Р( ).

3. Вычислим произведения Р( ) (k = 1, 2, …, n), где = x_k – x_k-1.

4. Найдем сумму Р( ) , которую называют интегральной суммой для функции P(x, y, z) на дуге АВ по переменной х, отвечающей данному дроблению дуги АВ на части и выбору точек N_k ( ).

5. Измельчая дробление, ищем предел

( 8)

Р( ) .

Если существует конечный предел ( 8), не зависящий ни от способа дробления кривой АВ на части, ни от выбора точек N_k( ) (k = 1, 2, …, n), то этот предел называют криволинейным интегралом по переменной х от функции Р(x, y, z) по кривой АВ в направлении от А к В и обозначают символом:

( 9)

Если на кривой АВ заданы функции Q(x, y, z) и R(x, y, z), то аналогичным образом можно определить криволинейные интегралы по кривой АВ в направлении от А к В по переменным y и z, соответственно, от функций Q(x, y, z) и R(x, y, z):

( 10)

( 11)

Сумму криволинейных интегралов ( 9), ( 10), ( 11) называют криволинейным интегралом второго рода по кривой АВ в направлении от А к В и обозначают:

( 12)

Рассмотрим основные свойства криволинейных интегралов вида ( 9) (криволинейные интегралы вида ( 10), ( 11), ( 12) обладают аналогичными свойствами), предполагая существующими все ниже встречающиеся интегралы.

1. При изменении направления на кривой криволинейный интеграл второго рода меняет знак на обратный:

2. Постоянный множитель в подынтегральной функции можно выносить за знак криволинейного интеграла:

3. Криволинейный интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

4. Если кривая АВ разбита точкой С на две части АС и СВ, то криволинейный интеграл по всей кривой АВ равен сумме интегралов по ее частям:

5. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой L не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

К риволинейный интеграл по замкнутой кривой L иногда обозначают символом . Направление обхода контура L задается дополнительно. Если L – замкнутая плоская кривая без точек самопересечения, лежащая, например, в плоскости Oxy, то положительным направлением обхода контура L называется такое направление обхода, при котором движение происходит против часовой стрелки, т.е. так, что ограниченная контуром L часть плоскости остается слева ( рис. 2). Противоположное направление обхода контура называют отрицательным.

При отсутствии дополнительных указаний о направлении обхода плоского контура L обычно принимают положительное направление.

В заключение общих положений приведем формулу, устанавливающую связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.

Пусть АВ – направленная пространственная кривая с началом в точке А и с концом в точке В. Будем касательной, проведенной в любой точке кривой АВ, присваивать направление, совпадающее с направлением кривой АВ. Обозначим через , ,  углы, которые образует положительное направление касательной в любой точке АВ, соответственно, с осями Ox, Oy, Oz. В этом случае имеют место равенства:

( 13)

И тогда

Заметим, что если изменить направление кривой, то не только интеграл слева изменит знак, но и интеграл справа тоже изменит знак, т.к. изменение направления касательной изменит углы , ,  на +.

Вычисление криволинейных интегралов второго рода сводится к вычислению определенных интегралов.

Специфика вычисления определяется, как и ранее, способом задания кривой интегрирования.

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями

x

( 14)

= (t), y = (t), z = (t),  < t < ,

где (t), (t), (t) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t. Предположим, что точке А соответствует значение параметра t =, точке В соответствует t = , причем, изменению t от  до  соответствует движение точки М[(t); (t); (t)] по кривой АВ в направлении от А к В. Тогда, если функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны, имеет место формула:

( 15)

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла второго рода по кривой АВ в направлении от А к В следует: используя параметрические уравнения ( 14) кривой АВ, заменить под знаком интеграла переменные x, y, z, а также их дифференциалы dx, dy, dz через параметр t, а затем вычислить от полученного выражения определенный интеграл по переменной t в пределах от  до.

Е

( 16)

сли, в частности, кривая АВ – плоская и задана параметрическими уравнениями

x = (t), y = (t),  < t < ,

а функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны на АВ, то формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода по кривой АВ имеет вид:

( 17)

Е

( 18)

сли АВ – плоская кривая, заданная уравнением (явно)

y = f(x), a < x < b,

где f(x) – непрерывно дифференцируемая функция на [a, b] , то, принимая х за параметр, как частный случай формулы ( 17) получим формулу:

( 19)

где а = х_нач, в = х_кон.

Если различные участки контура заданы различными уравнениями, то нужно разбить контур интегрирования на соответствующие части и весь интеграл вычислять как сумму интегралов, взятых по этим частям.

При работе с интегралом второго рода особо следует помнить, что на линии, по которой он вычисляется, должно быть выбрано одно из двух возможных направлений.

Пример 7.

Вычислить интеграл вдоль линии у= х²/2 от точки А(2;2) до В(0;0) (рис. 3).

Имеем случай явного задания плоской кривой уравнением у = у(х), поэтому данный интеграл второго рода может быть вычислен как определенный интеграл по формуле (19):

где х_нач и х_кон – абсциссы начальной и конечной точек.

Таким образом, имеем:

П ример 8.

Вычислить по верхней половине окружности x² + (y-1)² = 9, пробегаемой по часовой стрелке.

И з уравнения в декартовых координатах данной линии можно получить ее параметрическое задание более удобное для вычислений: x = 3cost, y = 1 + 3sint, 0 < t < , причем, начальной точке при заданном условием направлении обхода соответствует t = , а конечной – t = 0. Здесь удобно использовать формулу ( 17):

Рис. 4

И тогда

Пример 9.

Вычислить – дуга параболы z = x² явное задание кривой, пробегаемая от точки А (-1;1) до точки В (1;1) (рис. 5).

Т ак как z = x², z’ = 2x и при движении из точки А в точку В х меняется от –1 до 1, то по формуле ( 19) имеем:

Пример 10.

Вычислить где L – отрезок прямой, соединяющий точки А(1;1;1) и В(2;3;4).

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки, имеет вид:

или (так удобнее) x = t + 1, y = 2t + 1, z = 3t + 1.

При передвижении от точки А к точке В параметр t меняется от 0 до 1. По формуле (15) имеем: