Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.
Пусть S – гладкая двусторонняя поверхность, на которой выбрана определенная сторона. Пусть также на поверхности S заданы непрерывные функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z). Если написанные ниже интегралы существуют, то поскольку dy dz =cos α ds, dxdz = cos β ds, dxdy = cos γ ds, имеет место формула:
( *)
где cos,
cos,
cos
– направляющие косинусы нормали
к поверхности S,
направленной в выбранную сторону;
– векторная функция,
-
единичный вектор нормали
.
Здесь уместно отметить, что если на поверхности S выбрана верхняя сторона и сама поверхность S задана явно уравнением z = f(x, y), где функция f(x, y) и ее частные производные f’x и f’y непрерывны в замкнутой ограниченной области ху, являющейся проекцией поверхности S на плоскость Oxy, то направляющие косинусы нормали рассчитываются по формулам аналитической геометрии в пространстве и векторной алгебры:
( **)
Если поверхность S задана в неявном виде уравнением F(x, y, z) = 0, то направляющие косинусы нормали к этой поверхности определяются по формулам:
где
и выбор знака перед радикалом
согласовывается со стороной поверхности.
Вычисление пивр
Вычисление поверхностных интегралов второго рода сводится к вычислению двойных интегралов.
П
( 7)
по верхней стороне двусторонней S области, считая, что R(x, y, z)– непрерывная функция на поверхности S. Будем считать, что поверхность S описывается уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – непрерывная функция в замкнутой ограниченной области xy, являющейся проекцией поверхности S на плоскость Оху. Тогда интеграл ( 7) вычисляется по формуле:
( 8)
Таким образом, для вычисления поверхностного интеграла второго рода по верхней стороне поверхности S следует: используя уравнение поверхности S, заменить у подынтегральной функции переменную z функцией f(x, y) и вычислить полученный двойной интеграл по области ху – проекции поверхности S на плоскость Оху.
Интегрирование по нижней стороне поверхности S сводится к интегрированию по верхней стороне после перемены знака перед двойным интегралом в правой части равенства ( 8).
Аналогично, если
функция P(x,
y,
z)
непрерывна на двусторонней поверхности
S,
заданной уравнением x
= (y,
z),
где (y,
z)
– непрерывная функция в замкнутой
ограниченной области
= yz,
являющейся проекцией поверхности S
на плоскость Oyz,
то вычисление поверхностного интеграла
по стороне поверхности S,
направленной в сторону роста переменной
х, сводится к вычислению двойного
интеграла по формуле
( 9)
Наконец, если
функция Q(x,
y,
z)
непрерывна на двусторонней поверхности
S,
заданной уравнением y
= (x,
z),
где (x,
z)
– непрерывная функция в замкнутой
ограниченной области
= xz,
являющейся проекцией поверхности S
на плоскость Oxz,
то вычисление поверхностного интеграла
по стороне поверхности S,
направленной в сторону роста переменной
у, сводится к вычислению двойного
интеграла в соответствии с формулой:
( 10)
Пример 4.
Вычислить интеграл
по верхней стороне части плоскости
x
+ 2z
= 2, лежащей в первом октанте и отсекаемой
плоскостью у = 4.
В
соответствии с определением поверхностного
интеграла общего вида ( *) можем написать:
( 11)
В
0
Разрешив относительно х уравнение плоскости ABCD, в соответствии с формулой ( 9) имеем для первого интеграла:
где в правой части стоит двойной интеграл по прямоугольнику ОВСЕ, в который проектируется на плоскость Oyz прямоугольник ABCD. Используя правило вычисления двойных интегралов в декартовых координатах, получим:
( 12)
Так как прямоугольник АВСD является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oy, то, в согласии со свойством 5 поверхностных интегралов, будем иметь:
( 13)
Для вычисления третьего интеграла в правой части ( 11) разрешим уравнение плоскости ABCD относительно z: z = 1 – x/2 и воспользуемся формулой ( 8):
Вычисляя последний интеграл по прямоугольнику AOED, получим:
( 14)
Используя результаты вычисления интегралов, входящих в ( 11), и складывая их, получим окончательно:
Пример 5.
В
ычислить
,
где S
– часть поверхности x-y+z=1,
образованная ее пересечением с
координатными плоскостями. Выбор нормали
к поверхности S указан на рис. 4.
Б
удем
вычислять каждый из слагаемых интегралов
отдельно. В первом из них надо выразить
z
через х и у из уравнения плоскости z
= 1-x
+ y,
причем перед интегралом по xy
(т.е. по треугольнику АОВ) надо взять
знак плюс, т.к. выбранная нормаль
с осью Oz
образует острый угол
( cos
> 0):
А
С
А
налогично,
А
С
В
В
З
десь
при вычислении I2
была использована формула ( 4), причем
знак минус взят потому, что выбранная
нормаль n
образует с осью Oy
тупой угол
(cos
< 0). При вычислении I3
учитывалась формула ( 4) и то, что cos
> 0.
Таким образом,
