1. Поверхностные интегралы первого рода (по площади поверхности).

Поверхностные интегралы первого рода (ПИПР) представляют собой одно из возможных обобщений двойных интегралов.

Пусть в пространстве Oxyz задана гладкая поверхность S, в точках которой определена произвольная функция F(x, y, z). (Поверхность называется гладкой, если в каждой точке существует касательная плоскость, непрерывно изменяющаяся вдоль поверхности). Проделаем 5 операций.

1. Разобьем поверхность S на n частей, не имеющих общих внутренних точек. Обозначим площади и диаметры этих частей соответственно через s₁, s₂,…, s_n и ₁, ₂,…, _n. Наибольший из диаметров обозначим через  и назовем рангом дробления.

2. В каждой частичной области выберем произвольным образом по точке (x_k; y_k; z_k) и вычислим в них значения функции F(x, y, z), т.е. найдем числа F(x_k, y_k, z_k).

3. Вычислим произведения F(x_k, y_k, z_k) s_k (k = 1, 2, …, n).

4. Найдем сумму которую называют интегральной суммой для функции F(x, y, z) по поверхности S, отвечающей произведенному дроблению на части и выбору точек (x_k; y_k; z_k).

5. Измельчая дробление, ищем предел

( 1)

Е

( 2)

сли существует конечный предел ( 1), не зависящий от способа дробления области S на части, а также от выбора точек (x_k; y_k; z_k), то этот предел называют поверхностным интегралом первого рода от функции F(x, y, z) по поверхности S (поверхностным интегралом по площади поверхности) и обозначают символом:

При этом функцию F(x, y, z) называют подынтегральной функцией, a S – поверхностью интегрирования, ds – элементом площади поверхности S.

Таким образом, по определению

( 3)

Простейшие свойства поверхностного интеграла первого рода:

1. Если F(x, y, z) = 1 в любой точке поверхности S, то где S – площадь поверхности интегрирования.

2. Постоянный множитель К подынтегральной функции можно выносить за знак поверхностного интеграла:

3. Поверхностный интеграл первого рода от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций:

4. Если поверхность S разбита на две части S₁ и S₂, то поверхностный интеграл по всей поверхности равен сумме интегралов по ее частям:

5. Если в точке А поверхности S функции F₁(x, y, z) и F₂(x, y, z) удовлетворяют неравенству F₁(x, y, z) < F₂(x, y, z), то

6. Имеет место неравенство:

7. (Теорема о среднем). Если функция F(x, y, z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверхности найдется хотя бы одна такая точка , что будет иметь место равенство: где S – площадь поверхности S.

Если на поверхности S распределена с плотностью (x, y, z) некоторая масса m, то Координаты центра масс, статические моменты и моменты инерции материальной поверхности вычисляются по формулам, аналогичным формулам, приведенным в разделе «Двойные интегралы», т.к. (мы это ниже увидим), вычисление поверхностных интегралов первого рода сводится к вычислению двойных интегралов.

Обозначим через _xy проекцию поверхности S на плоскость Oxy. Рассмотрим случай, когда _xy – замкнутая ограниченная область, а поверхность S такова, что она может быть задана уравнением z = f(x, y), где функция f(x,y) вместе с частными производными f’_x и f’_y непрерывна в _xy. Тогда формула для вычисления поверхностного интеграла первого рода для случая, когда функция F(x, y, z) непрерывна на поверхности S, имеет вид:

( 4)

Таким образом, для вычисления поверхностного интеграла первого рода по поверхности S следует: используя уравнение z = f(x, y) поверхности S, заменить у подынтегральной функции переменную z функцией f(x, y), а элемент площади ds – произведением и вычислить полученный двойной интеграл по области _xy – проекции поверхности S на плоскость Oxy.

Естественно, что имеют место еще две формулы, соответствующие проектированию поверхности S на плоскости Oyz и Oxz.

Если различные участки поверхности S заданы различными уравнениями, то нужно разбить поверхность S на соответствующие части и весь интеграл вычислять как сумму интегралов, взятых по этим частям.

Пример 1.

Вычислить , где S – часть плоскости x + y + z – 1 = 0, лежащая в первом октанте.

П оверхность S проектируется на плоскость Oxy в область _xy, представляющую собой треугольник (рис. 1).

Разрешив уравнение данной плоскости относительно z, получим:

z = 1-x-y.

Таким образом, в нашем случае f(x, y) = 1-x-y и, следовательно, f’_x(x, y) = -1, f’_y(x, y) = = -1.

Непосредственно видно, что все они непрерывны в _xy и, значит, в соответствии с формулой (4) можем написать:

Пример 2.

Вычислить где  – часть плоскости x + y + z = 1, заключенная в первом октанте (см. рис. 1).

Запишем уравнение данной плоскости в виде z = 1-x-y. Так как z/x = -1, z/y = -1, то по формуле ( 4)

Проекцией  на плоскость xOy является треугольник D, ограниченный прямыми x+y=1, x = 0, y = 0. В этом треугольнике х меняется от 0 до 1, а при каждом фиксированном х ордината меняется от y = 0 до y = 1-x. Поэтому по формуле ( 4) имеем:

Пример 3.

Вычислить координаты центра тяжести С однородной полусферы радиуса R.

Выберем систему координат так, чтобы полусфера стояла на плоскости xOy, а начало координат находилось в ее центре. Тогда уравнение полусферы будет иметь вид x² + y² + z² = R² (z > 0). Так как поверхность однородная (постоянная плотность массы), то из соображений симметрии ее центр тяжести должен находиться на оси Oz, т.е. x_C = 0, y_C = 0. Формула для вычисления z_C однородной поверхности  имеет вид:

В данном случае поверхность  задана уравнением x² + y² + z² = R² (z > 0), откуда Вычисляя по формуле ( 4) элемент поверхности сферы, получим (проверьте!)

Данная полусфера проектируется в круг D радиуса R с центром в начале координат, поэтому

Для вычисления второго интеграла были применены полярные координаты на плоскости xOy.

Таким образом, окончательно для координаты z_C получаем: