35. Двойной интеграл в полярных координатах. Двойной интеграл Пуассона.

Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат (рисунок 1).

Рис.1 Рис.2

Якобиан такого преобразования имеет вид Следовательно, дифференциальный элемент в полярных координатах будет равен

Гауссов интеграл (также интеграл Эйлера — Пуассона или интеграл Пуассона) — интеграл от гауссовой функции:

36.Тройной интеграл и его вычисление с помощью трехкратного

37. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах положение точки M(x,y,z) в пространстве Oxyz определяется тремя числами − ρ, φ, z , где ρ − длина радиуса-вектора проекции точки M на плоскость Oxy, φ − угол, образованный этим радиусом-вектором с осью Ox (рисунок 1), z − проекция на ось Oz (ее значение одинаково в декартовых и цилиндрических координатах).

Рис.1

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Здесь предполагается, что

Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен

Тогда формула замены переменных при данном преобразовании имеет вид:

Переход к цилиндрическим координатам упрощает вычисление тройного интеграла в случаях, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

38. Тройной интеграл в сферических координатах.

Рассмотрим сферическую систему координат ОρΘφ, совмещённую с декартовой системой Оxyz. При этом максимальные пределы изменения сферических координат таковы: 0 ≤ φ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ ∞

Из рис. 2.21 нетрудно вывести следующие формулы, связывающие декартовые и сферические координаты:

с помощью которых получим Якобиан преобразования:

Таким образом, переход к сферическим координатам в тройном интеграле осуществляется по формулам: