5. Радикальный признак Коши.

Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел: , то:

а) При D<1 ряд сходится. В частности, ряд сходится при D=0.

б) При D>1 ряд расходится. В частности, ряд расходится при .

в) При D=0 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак. Интересно отметить, что если признак Коши не даёт нам ответа на вопрос о сходимости ряда, то признак Даламбера нам тоже не даст ответа. Но если признак Даламбера не даёт ответа, то признак Коши вполне может «сработать». То есть, признак Коши является в этом смысле более сильным признаком.

Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда ПОЛНОСТЬЮ находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень «хорошо» извлекается из общего члена ряда

6. Интегральный признак Коши. Ряд Дирихле.

Рассмотрим положительный числовой ряд . Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.

Ряд Дирихле:

1. p=1б ряд расходится;

2. p>1 сходится;

, так как 1-p<0, то сходится.

3. p<1

1-p>0 интеграл расходится, а значит и ряд расходится.

7. Знакопеременный ряд. Его признак сходимости. Понятие об условной и абсолютной сходимости.

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.

Пусть

(1)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов (2)

Тогда ряд (1) тоже сходится.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд

(3)

Очевидно, при всех n=1, 2, … . Ряд (2) сходится по условию, поэтому сходится ряд , тогда по признаку сравнения сходится ряд (3). Ряд (1) представляет собой разность двух сходящихся рядов (3) и (2), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если существует (и не бесконечен), но .

Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей .

8. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда

Пусть для знакочередующегося ряда

выполняются следующие условия:

монотонное невозрастание {an}.

Тогда этот ряд сходится.

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей ( ) сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно.