26. Производная сложной функции нескольких переменных. Полная производная
Предположим, что
в уравнении
и
являются функциями независимых переменных
x
и y:
.
В этом случае говорят, что z
есть сложная функция от аргументов x
и y
.
Если функции
имеют непрерывные частные производные
по всем своим аргументам, то
Полная производная
функции — производная функции по времени
вдоль траектории. Пусть функция имеет
вид
и ее аргументы зависят от времени:
.
Тогда
,
где
— параметры, задающие траекторию.
Полная производная функции f
(в точке
)
в таком случае равна частной производной
g
по времени (в соответствующей точке
)
и может быть вычислена по формуле:
,
где
— частные производные. Следует отметить,
что обозначение
является условным и не имеет отношения
к делению дифференциалов. Кроме того,
полная производная функции зависит не
только от самой функции, но и от траектории.
27. Точка максимума и минимума функции двух переменных.
Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области D, точка N0(x0;y0)D. Точка N0(x0;y0) называется точкой максимума функции z=f(x,y), если существует δ - окрестность точки N0(x0;y0), что для каждой точки (x,y), отличной от N0(x0;y0), из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)0;y0). Аналогично определяется точка минимума функции, т.е. если выполняется неравенство f(x,y)>f(x0;y0), то N0(x0;y0) - точка минимума.
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называют ее экстремумом
28. Необходимые условия экстремума. Достаточное условие для функции двух переменных
Теорема (необходимое
условие экстремума функции двух
переменных). Если функция
достигает
экстремума при
,
то каждая частная производная первого
порядка от z
или обращается в нуль при этих значениях
аргументов, или не существует.
Теорема (достаточное
условие экстремума функции двух
переменных). Пусть в некоторой области,
содержащей точку
функция
имеет непрерывные частные производные
до третьего порядка включительно. Пусть,
кроме того, точка
является критической точкой функции
,
т.е.
,
тогда при :
1)
имеет максимум, если дискриминант
и
,
где
;
2)
имеет минимум, если дискриминант
и
;
3)
не имеет ни минимума, ни максимума, если
дискриминант
;
4) если
,
то экстремум может быть, а может и не
быть (требуется дополнительное
исследование).
29. Метод наименьших квадратов.
В различных исследованиях по данным результатов исследований, часто возникает необходимость построения эмпирических формул, составленных по этим наблюдениям.
Одним из наилучших способов получения таких формул является метод (способ) наименьших квадратов.
Пусть по результатам опыта нам нужно установить зависимость между двумя величинами х и у, где, например,
х - стоимость строительства объекта;
у - накладные расходы.
По результатам наблюдения составим таблицу:
Нужно теперь установить функциональную зависимость у = f(x).
Нанесем результаты наблюдений на координатную плоскость.
В данном случае естественно предположить, что зависимость линейная (т.е. все точки расположены около прямой).
Т.е. у = ах + b (*)
где а и в - некоторые постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
Представим (*) в виде ах + b - y = 0 (**)
Так как точки лежат приблизительно на этой прямой, то эта зависимость приближенная. И, если подставить точки наблюдений в (**), то получим равенства:
(15.2)
где числа ei (i=1¸n) называются погрешностями и, вообще говоря, не равные нулю.
Способ наименьших квадратов состоит в том, что нужно подобрать а и b таким образом, чтобы ei были бы по возможности малыми по абсолютной величине, а лучше сказать, чтобы сумма квадратов погрешностей была бы минимальной. Т.е. потребуем, чтобы
(15.3)
тогда S(a,в) можно рассматривать как функцию двух переменных по а и b и можно ее исследовать на экстремум (определить минимум), т.е.
(15.4)
Приравняем эти частные производные к нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b :
(15.5)
Система (15.5) называется нормальной системой способа наименьших квадратов.
Решая эту систему относительно а и b, находим числа а и b и затем подставляем их в (*)
.