Функциональный ряд. Область сходимости функционального ряда. Остаточный член сходящегося функционального ряда.
Функциональный
ряд — ряд, каждым членом которого, в
отличие от числового ряда, является не
число, а функция
Множество значений
аргумента x
при которых из
получаются
сходящиеся числовые ряды называют
областью сходимости функционального
ряда.
Если суммой ряда
является функция S(x),
то это значит
,где
называют
остаточным членом ряда.
у сходящегося ряда
равняется нулю.
11.Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Логранджа.
12.Формулы Тейлора и Маклорена. Ряд Маклорена для функции (с нахождение области сходимости этого ряда).
Если функция y =
f(x) имеет производные в окрестности
точки x = x0 до (n+1) - го порядка включительно,
то существует точка
,
такая, что
(1)
где
Формула (1) называется формулой Тейлора функции y = f(x) для точки x0,
Rn (x) - остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа.
При x0 = 0 приходим к частному случаю формулы (1):
(2)
где
Формула (2) называется формулой Маклорена функции y = f(x).
.
Для этой функции
,
.
По формуле
составим
ряд Маклорена данной функции:
(1)
Найдем радиус
сходимости ряда (1) по формуле
:
.
Следовательно,
ряд (1) сходится при любом значении
.
Все производные
функции
на любом отрезке
ограничены, т. е.
.
Поэтому, согласно теореме 1, имеет место разложение
13.Ряды Маклорена для функций sin X и cos X (c нахождением области сходимости).
.
Для этой функции
Отсюда следует, что при x=0 производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.
По формуле составим ряд Маклорена:
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
Поэтому имеет место разложение
(1)
. Воспользуемся
разложением (1) в ряд Маклорена функции
и свойством о дифференцировании
степенного ряда. Имеем
Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение имеет место при любом .
14.Теорема Абеля для степенных рядов. Интервал и радиус сходимости степенного ряда, его область сходимости.
Если степенной
ряд
сходится при x = x1 , то он сходится и притом
абсолютно для всех
.
Доказательство. По условию теоремы, так как члены ряда ограничены, то
где k- некоторое постоянное число. Справедливо следующее неравенство:
Из этого неравенства
видно, что при x<x1 численные величины
членов нашего ряда будут меньше (во
всяком случае, не больше) соответствующих
членов ряда правой части записанного
выше неравенства, которые образуют
геометрическую прогрессию. Знаменатель
этой прогрессии
по условию теоремы меньше единицы,
следовательно, эта прогрессия представляет
собой сходящийся ряд.
Поэтому на основании
признака сравнения делаем вывод, что
ряд
сходится, а значит ряд
сходится абсолютно.
Таким образом,
если степенной ряд
сходится в точке х1, то он абсолютно
сходится в любой точке интервала длины
2
с центром в точке х = 0.
Если при х = х1 ряд расходится, то он расходится для всех .
Таким образом, для
каждого степенного ряда существует
такое положительное число R,
что при всех х
таких,
что ряд абсолютно сходится, а при всех
ряд
расходится. При этом число R
называется радиусом сходимости. Интервал
(-R,
R)
называется интервалом сходимости.
Отметим, что этот интервал может быть как замкнутым с одной или двух сторон, так и не замкнутым.
Радиус сходимости
может быть найден по формуле:
X0
X