15.Биноминальный ряд, его область сходимости.

Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию f(x)=(1+x)m, где m≠0 – любое действительное число. Для этого вычислим производные:

f′(x)=m(1+x)m-1,

f″(x) = (m-1) m (1+x) m-2,

f″′(x) = (m-2) (m-1) m (1+x) m-3, …,

f(n)(x)=(m-n+1)…(m-2).(m-1)m(1+x)m-n, …

При x=0 получаем

f (0)=1,

f′ (0) =m,

f″ (0) = (m-1) m,

f″′(0)=(m--2)(m-1)m, …, f(n)(0)=(m-n+1)…(m-2)(m-1)m, … .

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1;1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значений m) и что

Таким образом, при x (-1;1) имеет место разложение:

Ряд называется биномиальным рядом.

16.Степенные ряды для функций

(1)

Положим в этой формуле :

(2)

Заменив в 2 x на –x+1

(3)

Интегрирую почленно 2 и 3

(4)

(5)

Вычитая из 4 5 получим

причем |x|<1

17.Разложение в ряд Маклорена функций arcsin X, arctg X.

19.Производная от определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда в каждой точке х отрезка [a, b] производная функции Ф (х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции f (x):

Из вышесказанного имеем ,

где с Î[х, х + Δх]. Переходя к пределу при Δх → 0 и учитывая, что

в силу непрерывности функции f (x), получаем требуемое условие.

Следствие. Если функция y = f (х) непрерывна на отрезке [a, b], то для этой функции существует первообразная на отрезке [а, b] .

Действительно, примером первообразной для f (x) является функция Ф (х).

Формула Ньютона-Лейбница

Если f непрерывна на отрезке [a,b] и Ф — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

21. Несобственные интегралы.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

Данный интеграл вычисляется по следующему правилу:

Если предел в правой части существует и конечный, то говорят, что данный несобственный интеграл сходится. В противном случае интеграл расходится. Если подинтегральныя функция имеет разрыв в точке x=и, то соответствующий несобственный интеграл вычисляется по формуле

Если функция имеет разрывы на обоих концах отрезка интегрирования, то пользуясь свойствами определенного интеграла его вычисление можно свести к вычислению предыдущих двух

Данный интеграл сходится, если сходится оба несобственных интеграла в правой части этого интеграла.

Если подинтегральная функция f(x) имеет разрыв во внутренней точке отрезка [a,b] при x=с, то , также является несобственным и его вычисление сводится к нахождению двух несобственных интегралов