3.7. Стохастические системы.

Cис, ф-е под возд случ. факторов, наз. стохастическими.

важных понят СС - понятие случайного оператора.

Учет случ. факторов:

рассм. мн-во , кот. предст. собой пр-во элементарных событ с некот вер-ой мерой Р(А). Она м.б. любая. Это м.б. все то, что определяется с пом. закона распредел или CВ или СП.

Рассм. X→Z – отображ, X – множ вх сг, Z – множ сост сист

В д.сл. под сл. Оп подраз. Оп H₁, позв. определ: z=H₁(x, ) реализ отобр-я множ  в отображ X→Z: →{X→Z}

В чем особ-ть сл. оператора?

При некот. xX, нельзя с учетом сл. факторов однозн определ зн-е zZ, а можно лишь вести речь о появл этого мн-ва Z*Z, имеющ свои за-ны распредел вер-ти, определ вер-ой мерой Р(А) и сл. Оп. Н₁.

Введем понятие сл. оператора перех и вых.

z(t)=H₁{t, t_o, z(t_o, _o), (t, x_L]_to^t, ’} y(t)=G₁{t, z(t), ’’}

Н₁ – сл. Оп перех, G₁ – сл. Оп вых - Эти Оп отн. к СС без послед.

_o, ’, ’’ – независим элементарные событ, принадлеж  с соответв вер мерами Р_о(А), Р_z(A) и P_y(A) по принадлежн этих событ соотв эл-ым событ (об,пер-ым)

Теперь мы можем выделить ч/сл СС.

Пусть ’и ’’ – фиксир. Тогда сл. соб - _о. Имеем СС со случ нач. усл.

Пусть фиксир _о и ’  имеем сист со случ вых.

Пусть _о и ’’ фиксир  имеем сист со сл. переходами.

Рассм. примеры СС, в кот протек сл. проц явл. Марковск.

3.7.1 Марковск сл. Процесса (мсп)..

Сл проц, протек в сист, наз. Марк, если вып условия:

Люб мом. t_о вер нахожд Сист в опред сост на мом t>=t_o, опред сост сист в мом t_o и не завис от сост в мом t< t_o (без предистор, без послед)

2 класса по специф перех 1)с дискр сост 2)с непрер сост-ми

1) Число сост сист можно перенумер (конечно), переходы скачком.

2) –Плавн смена сост, безко чисто сост. (Пр: питание сети)

рассм. только с дискр., их различ: с дискр t и с непрер t.

Если число сост конечн, то иссл сист предст - графа сост.

Пример: рассм. систему, сост. из 2-х блоков.

S ₁ – (0.0)исправны

S₂ - (0.1) не исправен

S₃ - (1.0)Б₂ не исправен

S₄ – (1.1)оба неисправны

Если блок восстанав, то обрат перех.

Дискр t: смена сост сист в фиксир, наперед известн мом вр., то в д.сл.

Непрер t: смена сост сист в нек. случ, наперед неизв мом. Вр

Рассм. МСП с дискр. временем. Обозначим эти мом вр:

S: S₁, S₂, … S_n T: t₁, t₂, t₃, … t_k …

Обычно вводят понятие шага=> S₁^(o), S₃⁽¹⁾, S₃⁽²⁾ и т.д

сист нах-ся в S_i^(k) сост-ях.

Вер-е хар-ки - это вер-ть того, что после k шагов сист наход в сост Si: pi(k), k=1,2,… i=1,n

Для сист , с n сост для люб. k вып-ся условие:

Сост несовм и образ полн группу

Задачу: для сис с n сост найти соотн, по кот для k: Pi(k)-?

зад число сост и вер перехиз одного сост-я в др:

{ Pij}: SiSj, где i, j = [1,n].

При постр матрицы - конрол правильн: сумм строки =1

Систему задать матриц сост, либо размеч графом сост-й:

Реализя в МСП с непрер t? (проц с двойн случ-ю).

Рассм сис с n сост:Pi(t)-?

Здесь вер-ть перехода = 0: хар-ка плотн вер перех:

Pij(∆t): вер-ть, что за t сист перейдёт из Si в сост-е Sj.

∆t - достаточно малая вел-на.

P₁(t)-? t+t: P₁(t+t)-?

ур-я Колмогорова

+ нач сост p₁(0)=1 p₂(0)= p₃(0)=p₄(0)=0

Из графа сост - Мод сист – сист ур-й Колм - все хар-ки (вер сост)

Рассм систем, кот в люб сл мом вр сл образом измен свои сост-я. Переход из сост-я в сост-е удобно предст в виде проц, нах под действием ПС. Такое понятие «поток событий» - виртуальное. Мы его можем представить как угодно. Это можно отнести к проц ф-я любой программы (Н-р, сбои). След-но, в теор Марковских проц гораздо чаще связ ф-е систем именно с ПС