9.3. Вынужденные электромагнитные колебания

Подключим колебательный контур к генератору переменной электро­движущей силы

 = _m cos Ωt, (9.38)

где _m иΩ- амплитуда и частота напряжения (ЭДС), вырабатываемого генератором (рис. 9.4). В этом случае правило Кирхгофа дает уравнение

Рис. 9.4- Колебательный контур

U = -LdI/dt + _m cos Ωt

которое преобразуем при помощи формул (9.7) и (9.8) к виду

(9.39)

где U = U(t) - функция, описывающая колебания напряжения на обкладках конденсатора.

Нетрудно проверить, что функция

U_в(t) = U_m cos Ωt (9.40)

есть частное решение уравнения (9.39). Она описывает вынужденные колебания,

бусловленные действием подключенного к контуру генера­тора. Как видно, частота этих колебаний равна частоте напряжения, вы­рабатываемого генератором. Чтобы убедиться в том, что функция (9.40) есть решение уравнения (9.39), необходимо подставить эту функцию в уравнение. В самом деле такая подстановка обращает это уравнение в тождество, но при условии, что амплитуда U_m вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе связана с амплитудой _m напряжения ге­нератора соотношением

U_m =ω₀² _m /( ω₀² - Ω²),

Как видно из этой формулы, амплитуда вынужденных колебаний напря­жения зависит от частоты генератора электродвижущей силы. График зависимости U_m = U_m(Ω) показан на рис. 9.5. Такого вида кривые на­зываются резонансными.

U_m

0 ω₀ Ω

Рис. 9.5. Резонансная кривая

9. Электромагнитные колебания

(продолжение)

9.4. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний

Как было показано в разделе 9.2, напряжение U на обкладках конден­сатора, который

вместе с катушкой индуктивностью L и сопротивлени­ем R образует колебательный

контур, изменяется со временем так, что функция U = U(t) является решением дифференциального уравнения (9.23)

Рассмотрим один из способов отыскания решений этого уравнения. Бу­дем искать решение этого уравнения в виде произведения

U(t) = е^-βtf (t)

Производные этой функции

dU/dt = е^-βt ( df/dt - β f (t))

d²U/dt² = е^-βt (d²f/ dt² - 2 β df/dt -β² f (t))

Подстановка функции (9.42) и ее производных в уравнение (9.23) приво­дит к дифференциальному уравнению

d²f/ dt² + (w₀²-β² ) f = 0 . (9.43)

При условии, что

w_o> β , (9.44)

уравнение (9.43) представляет собой дифференциальное Уравнение гар­монических

колебаний

d²f/ dt² + w² f = 0 . (9.45)

где

w= √w₀²-β²

Общее решение уравнения (9.45) имеет вид

f (t) = U₀ cos(wt + a),

где U_o и а - постоянные величины. Подстановка этого выражения в формулу (9.42) приводит к функции

U(t) = U₀е^-βtcos(wt + a), (9.47)

которая описывает затухающие колебания напряжения на конденсаторе.

В том случае, когда сопротивление контура больше критического, т.е.

R > R_kp , (9.48)

неравенство (9.44) нарушается. Теперь уравнение (9.43) следуем записать

d²f/ dt² +λ² f = 0 (9.49)

где

λ = √ β²-w₀² (9.50)

при условии, что λ > w₀. Непосредственной подстановкой нетрудно убе­диться в том, что общим решением уравнения (9.49) является сумма

f (t) = С₁e^-λt + С₂e^λt

где С₁ и С₂ - произвольные постоянные. При этом функция (9.42) будет иметь вид

U(t) = С₁е^-(β+λ)t + С₂ e^{-( β –λ)t} . (9.51)

Такая функция описывает апериодические изменения напряжения на конденсаторе, с которого стекают накопленные на его обкладках заряды. Возможные графики этой функции изображены на рис. 9.6.

U

Рис. 9.6. Зависимость напряжения на конденсаторе от времени

Кривая 1 на рис. 9.6 соответствует случаю, когда в момент времени t = 0 конденсатор был заряжен, а ток в контуре был равен нулю. Затем конденсатор стал разряжаться и в контуре появился ток. В некоторый момент времени напряжение на конденсаторе станет равным нулю, но при этом в контуре еще будет идти ток. Поэтому конденсатор снова на­чнет заряжаться, но в обратной полярности. После того как напряжение на конденсаторе достигнет наибольшего значения, он будет разряжаться. Кривая 2 соответствует случаю, когда в момент времени t = 0 конденса­тор не был заряжен, но по контуру шел ток и в катушке было магнитное поле. Затем заряды стали натекать на обкладки коденсатора, т.е. он стал заряжаться. Напряжение на конденсаторе растет до максимума и после этого снижается до нуля.