7.4. Напряженность магнитного поля
В сумму, стоящую в правой части уравнения (6.8), входят все токи, охватываемые контуром С: и свободные, и молекулярные. С учетом разделения токов на эти две категории запишем уравнение (6.8) так:
=μo ( I* + I')
=
I*
Вектор
H = B/ μo - J
называют напряженностью магнитного поля. Согласно равенству (7.7) циркуляция вектора напряженности по произвольному контуру равна алгебраической сумме свободных токов, охватываемых этим контуром.
Когда свободные токи текут в сплошной среде, сумму в правой части уравнения (7.7) следует заменить интегралом
I*
=
где j* - плотность свободных токов; S - поверхность, натянутая на контур С. При этом уравнение (7.7) примет вид (7.9)
где направления векторов dl и dS связаны правилом правого винта.
Преобразовав криволинейный интеграл в левой части уравнения (7.9) по теореме Стокса (6.42) в поверхностный интеграл от ротора напряженности магнитного поля, придем к дифференциальному уравнению
rot H = j*
В большинстве задач теории постоянного магнитного поля свободные токи считаются известными. Преимущество уравнений (7.7), (7.9) и (7.10)
для вектора Н перед уравнениями (6.8), (6.11) и (6.13) для вектора В заключается в том, что они не содержат величин, характеризующих молекулярные токи, которые чаще всего бывают неизвестны.
7.5. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость
Индукция В магнитного поля определяет силы Ампера, действующие на молекулы в магнитном поле. Чем больше магнитная индукция, тем сильнее намагничивается вещество и тем больше его намагниченность J. Для многих (но не для всех) веществ вектор намагниченности коллинеарен вектору напряженности магнитного поля:
J (r) = т(г) Н(r). (7-П)
171
Безразмерная скалярная величина т называется магнитной восприимчивостью вещества. Магнетик называется однородным, если магнитная восприимчивость во всех его точках одинакова.
Подставив выражение (7.11) в соотношение (7.8), получим равенство
В =μH ,
где величина
μ=(1+т) μo
называется магнитной проницаемостью вещества. Величина
μr = μ/ μo =(1+т)
называется относительной магнитной проницаемостью. Величины μr , т служат характеристиками магнитных свойств вещества, а уравнения (7.11) и (7.12) описывают влияние магнитного поля на намагниченность магнетика.
7.6. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля в веществе
Интегральные уравнения (6.9) и (7.9) выражают основные законы постоянного магнитного поля в веществе. Запишем систему этих уравнений:
=0
Этим интегральным уравнениям соответствуют дифференциальные уравнения
(7.16)
div В = 0, rot H = j*
Уравнения, выражающие собой законы постоянного магнитного поля, следует дополнить материальным уравнением
В =μH ,
.
Функции В = В (r) и Н = H (r), являющиеся решением этой системы, описывают постоянное магнитное поле в веществе создаваемое свободными токами заданной плотности.
В тех случаях, когда линии электрического тока расположены в пространстве симметрично, можно заранее предугадать, какими должны быть семейства силовых линий магнитного поля. В таких случаях, зная
направление вектора H напряженности магнитного поля, его модуль H можно найти по теореме (7.9) о циркуляции этого вектора или из уравнения (7.10). Затем следует найти вектор В . После этого можно найти вектор намагниченности.
Задача 1. Пространство между плоскостями х = -а u х = а заполнено однородным веществом, магнитная проницаемость которого равна μ. В веществе протекает свободный электрический ток плотности
j{0, 0, j}, где j - постоянная. Найти напряженность H и магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током.
Задача 2. Бесконечный цилиндр радиуса R изготовлен из однородного вещества, магнитная проницаемость которого равна μ. По объему цилиндра вдоль его оси идет свободный электрический ток постоянной плотности j. Найти выражения для векторов H и В .
Задача 3. Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно по объему с плотностью заряда д. Цилиндр вращается вокруг своей оси с угловой скоростью w. Найти вектор магнитного момента части цилиндра длиной l и векторы напряженности и магнитной индукции. Магнитная проницаемость вещества, из которого изготовлен цилиндр, равна μ,.