II. Виды и логическая вероятность сложных суждений

Сложные суждения образуются из простых, а также из других сложных суждений с помощью союзов "если..., то...", "или", "и" и т.д., с помощью отрицания "неверно, что", модальных терминов "возможно, что", "необходимо, что", "случайно, что" и т.д. Эти союзы, отрицание "неверно, что", модальные термины в обыденном языке употребляются в различных смыслах. В научных языках им придается точный смысл, вследствие чего выделяются различные виды суждений, образованных из других суждений посредством, например, одного и того же грамматического союза.

1. Соединительными называются суждения, в которых утверждается наличие двух или более ситуаций. Чаще всего эти суждения выражаются в языке предложениями, содержащими союз "и".

Союз "и" употребляется в разных значениях. Например, предложения "Петров изучил английский язык, и он изучил французский язык" и "Петров изучил французский язык, и он изучил английский язык" выражают одно и то же суждение, а предложения "Петров окончил университет и поступил в аспирантуру" и "Петров поступил в аспирантуру и окончил университет" выражают разные суждения.

Таким образом, существуют разные типы утверждений о наличии двух или более ситуаций, т.е. разные виды соединительных суждений: (неопределенно) конъюнктивные, последовательно конъюнктивные, одновременно конъюнктивные.

1. (Неопределенно) конъюнктивные суждения образуются из двух суждений посредством союза, обозначаемого символом & (читается "и") и называемого знаком (неопределенной) конъюнкции. Определением знака конъюнкции является таблица, показывающая зависимость истинности конъюнктивного суждения от истинности составляющих его суждений.

2. Последовательно конъюнктивные суждения. В этих суждениях утверждается последовательное возникновение или существование двух или более ситуаций. Они образуются из двух или более суждений при помощи союзов, обозначаемых символами &^®2, & ^®3 и т. д. в зависимости от числа суждений, из которых они образованы. Эти символы называются знаками последовательной конъюнкции и соответственно читаются «…, а затем..», "..., затем..., а затем..." и т.д. Индексы 2,3 и т.д. указывают на местность союза. Форма суждения со знаком двухместной последовательной конъюнкции: &^®2(А,В) или (А&^®2В). Пример суждения этой формы: "Покупатель оплатил стоимость товара, а затем продавец выдал товар". Вместо выражения "а затем" чаще всего употребляется союз "и": "Покупатель оплатил стоимость товара, и продавец выдал товар". Форма суждения с трехместным союзом. Пример: "Петров заложил квартиру, затем внес деньги в пирамиду, а затем стал человеком без определенного места жительства".

3. Одновременно конъюнктивные суждения. Эти суждения образуются из двух суждений посредством союза "и", называемого знаком одновременной конъюнкции. Обозначение - &⁼. В этих суждениях утверждается одновременное существование двух ситуаций. Пример: "Идет дождь, и светит солнце".

   2. Разделительные суждения – это суждения, в которых утверждается наличие одной из двух, трех и т.д. ситуаций.

1. Дизъюнктивные, или нестрого-разделительные, или соединительно-разделительные, суждения. В этих суждениях утверждается наличие по крайней мере одной из двух ситуаций. Они образуются из двух суждений посредством союза "или", обозначаемого знаком v (читается "или"), называемым знаком нестрогой дизъюнкции (или просто знаком дизъюнкции).

2. Строго-дизъюнктивные, или строго-разделительные, суждения. В этих суждениях утверждается наличие ровно одной из двух, трех или более ситуаций. Они образуются из двух, трех и т.д. суждений посредством союзов "или..., или..." ("либо..., либо..."), "или..., или..., или..." и т.д. Иногда союз "или..., или..." заменяется союзом "или", а его разделительный смысл определяется контекстом. Союзы, посредством которых образуются строго-дизъюнктивные суждения, обозначаются знаком v.

III. Условные суждения выражаются как правило, предложениями с союзом "если …, то …". В них утверждается, что наличие одной ситуации обусловливает наличие другой. Пример: "Если солнце находится в зените, то тени от него являются самыми короткими". В условном суждении выделяют основание и следствие. Основанием называется та часть условного суждения, которая находится между словом "если" и словом "то". Часть условного суждения, которая находится после слова "то", называется следствием. В суждении "Если идет дождь, то крыши домов мокрые" основанием является простое суждение "идет дождь", а следствием - "крыши домов мокрые".

Более строго условное суждение определяется посредством понятия достаточного условия. Условие является достаточным для какого-либо события, какой-либо ситуации, если, и только если, всегда, когда имеется это условие, имеется и событие (ситуация). Так, наличие свободных электронов в веществе является достаточным условием для того, чтобы вещество было электропроводным. Условным называется суждение, в котором ситуация, описываемая основанием, является достаточным условием для ситуации, описываемой следствием. Условный союз "если..., то…" обозначается стрелкой (®).

IV. Контрфактические суждения. Пример: "Если бы Петров был президентом, то не ездил бы по городу на автобусе". Как и в условных суждениях, в этих суждениях выделяют основание и следствие. Союз "если бы…, то…" обозначается знаком É, который называется знаком контрфактической импликации. Суждение имеет такой смысл ситуация, описываемая основанием, не имеет места, но если бы она существовала, то существовало бы следствие

V. Эквивалентные суждения. В суждениях эквивалентности утверждается взаимная обусловленность двух ситуаций. Эти суждения выражаются, как правило, посредством предложений с союзом "если, и только если, ..., то..." ("тогда, и только тогда, …, когда..."). В них тоже можно выделить основания и следствия. Основание в них выражает достаточное и необходимое условие для ситуации, описываемой следствием (Условие называется необходимым для данного события (ситуации, действия и т.д.), если, и только если, при его отсутствии это событие не происходит.) Союз "если, и только если, …, то ", употребляемый в описанном смысле, обозначается символом º

В суждении эквивалентности событие, описываемое следствием, также является достаточным и необходимым условием для события, описываемого основанием.

VI. Суждение с внешним отрицанием. Это такое высказывание, в котором утверждается отсутствие некоторой ситуации.

Внешнее отрицание обозначается символом «l» (знаком отрицания). Данному знаку в естественном языке соответствует отрицание «не» или выражение «неверно, что», которые обычно стоят в начале предложения. Располагая выражение «неверно, что» перед произвольным ложным высказыванием, получаем истинное высказывание, а из истинного высказывания посредством подстановки к нему выражения «неверно, что», образуем ложное высказывание. Суждение с внешним отрицанием относится к сложным суждениям и образуется из простого посредством отрицания.

Истинностные значения сложных суждений зависят от истинностных значений составляющих суждений и от типа их связи. Тождественно-истинной формулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение «истина». Тождественно-ложная формула – та, которая (соответственно) принимает только значение «ложь». Выполняемая формула может принимать значения как «истина», так и «ложь».

Итак, конъюнкция (аb) истинна тогда, когда оба простых суждения истинны. Строгая дизъюнкция (ab) истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция (ab) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация (aÉb) истинна во всех случаях, кроме одного - когда а - истинно, b - ложно. Эквиваленция (aºb) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание (ùa) истины дает ложь, и наоборот.

Логическая форма сложного суждения – это его запись на символическом языке логики, в которой простые суждения заменены на символы p, q, r,...

• Любую языковую конструкцию, состоящую из некоторого множества суждений, можно перевести на символический язык. Для этого нужно заменить суждения логическими переменными, а связь между ними – логическими союзами. От того, при помощи какого союза связываются переменные, зависит логическая особенность сложного суждения, его форма.

• Сложное суждение, логическая форма которого принимает значение «истина» при всех наборах значений составляющих его переменных, называется логически необходимым. Другими словами, сложные суждения, которые во всех строках результирующего столбца таблиц истинности принимают значение «истина» являются логически необходимыми (логически истинными) суждениями. Логическая форма логически необходимого суждения выражается тождественно-истинной формулой, которая при любом истинностном значении переменных принимает значение «истина», то есть ее результирующий столбец состоит только из «И». Тождественно-истинные формулы являются основой логически правильных высказываний. Каждая такая формула рассматривается как закон логики (логическая тавтология).

• Сложное суждение, логическая форма которого принимает значение «ложь» при всех наборах значений составляющих его переменных, называется логически невозможным. Другими словами, сложные суждения, которые со всех сторон результирующего столбца таблицы истинности принимают значение «ложь» являются логически невозможными (логически ложными) суждениями. Логическая форма логически невозможного суждения выражается тождественно-ложной формулой, которая принимает значение «ложь» при любом истинностном значении переменных, то есть ее результирующий столбец состоит только из «Л». Тождественно-ложные формулы называются противоречиями.

• Сложное суждение, логическая форма которого в результирующем столбце таблицы истинности принимает значения как «истина», так и «ложь», называется логически случайным. Логическая форма логически случайного суждения выражается нейтральной (собственно выполнимой) формулой, результирующий столбец которой состоит как из «И», так и из «Л».

• Особенность первых двух видов сложных суждений заключается в том, что их истинность и ложность не зависят от истинности и ложности простых суждений, которые их составляют. Логически случайные суждения иногда истинны, иногда ложны. И зависит это от того, какие простые суждения истинны, а какие ложны.