- •Глава III Числа «Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человека». Л. Кронекер (1823-1891)
- •3. 1. Немного истории
- •3. 2. Развитие понятия о числе
- •3. 3. Непрерывность числовой оси
- •3. 4. Теория граней
- •3. 5. Комплексные числа
- •3. 5. 1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •3.5. 2. Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •3. 5. 3. Полярная система координат
- •3. 5. 4. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Решение:
- •П. 6 Полиномы
- •П. 6.1 Деление полиномов
- •Доказательство:
- •Решение:
- •Решение:
- •П. 6. 2 Основная теорема алгебры
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
Решение:
Делители свободного коэффициента: . Так как , то делится на . По схеме Горнера:
|
1 |
4 |
5 |
2 |
0 |
-1 |
-3 |
-2 |
|
1 |
3 |
2 |
0 |
Таким образом, .
П. 6. 2 Основная теорема алгебры
Теорема 4. Теорема Гаусса
Полином от комплексного, вообще говоря, переменного с комплексными, вообще говоря, коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный корень.
Следствие 1. Многочлен с, вообще говоря, комплексными коэффициентами от, вообще говоря, комплексного переменного имеет ровно , вообще говоря, комплексных корней, пусть даже совпадающих.
Доказательство:
По теореме Гаусса существует, по крайней мере, один корень полинома . Пусть число – корень . Тогда по теореме Безу . Применим теорему Гаусса к многочлену и так далее. Получим . Покажем, что . Для этого перемножим скобки и сравним коэффициенты в левой и правой частях при . Получим требуемое. ■
Следствие 2. Если – корень многочлена с действительными коэффициентами, то также является корнем этого многочлена той же кратности.
Доказательство:
Для доказательства докажем лемму.
Лемма. Если – комплексные числа, то , .
Доказательство леммы:
Пусть , . Рассмотрим
Теперь,
. ▲
Перейдём к доказательству следствия. Рассмотрим . Пусть – корень уравнения. Тогда, используя лемму, получим . Так как – действительные, то , что означает, – корень уравнения .
Теперь покажем, что имеет ту же кратность, что и . Предположим обратное, т.е. имеет кратность , а кратность , . Пусть , тогда , где и не являются корнями . Рассмотрим . Заметим, что по теореме Виета, где , – действительные числа, причём . Тогда . Получим, что многочлен имеет корень , а, , по доказанному выше, корнем не является, противоречит условию. Таким образом, , т.е. и имеют одинаковую кратность. ■
Следствие 3. Если многочлен с действительными коэффициентами, причём , , то уравнение имеет, по крайней мере, один действительный корень.
Доказательство:
Так как комплексно сопряжённые корни имеют одинаковую кратность, а по следствию 1 многочлен имеет ровно , вообще говоря, комплексных корней, то, по крайней мере, одному корню не «хватает» пары. Следовательно, он действителен. ■
Следствие 4. Любой многочлен можно представить в виде , где – действительные корни кратности , а не имеют действительных корней (доказать самостоятельно).
Следствие 5. Пусть – правильная рациональная дробь. Тогда если , то
Доказательство этого следствия проиллюстрируем на примере.
Пример. Разложим дробь на сумму элементов дробей.
Решение:
.
Для нахождения неизвестных коэффициентов , , приравняем числители: . Получим отсюда:
. Тогда: .
Пример. Разложить дробь на сумму элементарных дробей.
Решение:
Данная дробь является неправильной. Поэтому разделим числитель на знаменатель:
Для нахождения неопределённых коэффициентов ,, воспользуемся методом частных значений (в качестве таковых удобно брать корни знаменателя):
. Отсюда . Тогда окончательно получим: .