П. 6 Полиномы

Определение 1. Полиномом степени называют выражение вида , где – числа, вообще говоря, комплексные.

Определение 2. Алгебраическим уравнением называется выражение вида , где – полином степени .

Определение 3. Корнем полинома или соответствующего ему уравнения называется число такое, что .

П. 6.1 Деление полиномов

Теорема 1. (О делимости полиномов)

Пусть и – полиномы степени и соответственно, причём . Тогда существуют полиномы и такие, что , где , .

Доказательство этой теоремы в общем виде громоздко, но его идея легко просматривается на следующем примере.

Пример. Проиллюстрируем теорему 1. Разделим:

на

Определение 4. Рациональная дробь называется правильной, если ; и неправильной, если .

Определение 5. Полином называется полным частным, если остаток , и неполным, если .

Теорема 2. (Первая теорема Безу)

Остаток деления полинома на есть , где .

Доказательство:

По теореме 1 . Так как , а , то . Это значит, что .

Заметим, что . Таким образом, . ■

Теорема 3. (Вторая теорема Безу)

Число – корень полинома тогда и только тогда, когда при делении на .

Доказательство:

Необходимость. Пусть – корень полинома , т.е. . Рассмотрим . Тогда . Отсюда .

Достаточность. Пусть . Тогда по теореме 1. Рассмотрим . Это значит, что является корнем полинома . ■

Схема Горнера

Схема Горнера – это наиболее эффективный алгоритм деления полинома на двучлен . По теореме 1 . Распишем в последнем равенстве все многочлены: . Два полинома равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому:

………………………..		…………………………

		……………
		……………
		……………

С ледствие. Если полином имеет целые коэффициенты, причём , и его корни есть целые числа, то эти корни являются делителями свободного члена .

Доказательство:

По условию , где . Пусть – корень полинома , т.е. . Вынесем за скобку в левой части равенства: . Так как все – целые, тогда, если – целые, то – целое, т.е. является делителем числа . ■

Пример. Используя схему Горнера, разделить полином

на .

Решение:

Запишем делимое в каноническом виде, т.е. .

Применяя схему Горнера, имеем:

	1	0	-3	2	-1	1
	0	-1	1	2	-4	5
	1	-1	-2	4	-5	6

Итак, частное и остаток . Проверим . Заметим, что числа, стоящие в последней строке, кроме , являются коэффициентами частного .

Пример. Разложить на множители полином .