- •Глава III Числа «Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человека». Л. Кронекер (1823-1891)
- •3. 1. Немного истории
- •3. 2. Развитие понятия о числе
- •3. 3. Непрерывность числовой оси
- •3. 4. Теория граней
- •3. 5. Комплексные числа
- •3. 5. 1. Алгебраическая форма комплексного числа
- •3.5. 2. Геометрическая интерпретация комплексного числа
- •3. 5. 3. Полярная система координат
- •3. 5. 4. Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Решение:
- •П. 6 Полиномы
- •П. 6.1 Деление полиномов
- •Доказательство:
- •Решение:
- •Решение:
- •П. 6. 2 Основная теорема алгебры
- •Доказательство:
- •Доказательство леммы:
- •Доказательство:
3. 5. 3. Полярная система координат
Определение 1. Полярной системой координат (ПСК) называется совокупность фиксированной точки (начала координат) и выходящего из него луча (полярной оси). В ПСК каждой точке плоскости сопоставляются её полярные координаты (или ).
Установим связь между ПСК и ДПСК-2, совместив начала координат, а полярную ось направим вдоль оси . Тогда полярные координаты точки связаны с координатами точки в ДПСК-2 соотношением
, , где , .
Координатные линии – концентрические окружности и лучи . Каждой точке плоскости (за исключением точки , для которой , а не определено) соответствует пара чисел , и обратно. Расстояние точки от точки (полюса) называется полярным радиусом, а угол – полярным углом.
Формулы задают переход от полярных координат к декартовым . Рассмотрим обратный переход. Пусть точка задана в полярной системе координат. Тогда . Для нахождения значения введём вспомогательный острый угол . Значение определяется с учётом четверти, в которой находится точка , и выбранной системы:
-
;
рис. 3.8
-
;
|
|
|
|
рис. 3.9 |
3. 5. 4. Тригонометрическая форма комплексного числа
Мы можем рассматривать полярные координаты точки, изображающее комплексное число , как модуль и аргумент этого числа. Таким образом, , =. Тогда, учитывая , , получим тригонометрическую форму числа :
.
Пример. Найти модуль и аргумент числа .
Решение:
,,,
рис. 3.10
Данная форма комплексного числа удобна для выполнения умножения и деления комплексных чисел, для возведения в степень и извлечение корня n-й степени.
Рассмотрим произведение:
Таким образом, при умножении комплексных чисел модули их перемножаются, а аргументы складываются. Аналогично:
(показать самостоятельно).
Возведение числа в n-ю степень можно рассмотреть как произведение одинаковых множителей. Тогда получим формулу Муавра: .
Пример. Найти , если .
Решение:
Сначала представим в тригонометрической форме:
, .
. Тогда
.
Определение 6. Извлечь корень n-й степени из числа – найти такое число , что .
Пусть , а . Тогда .Отсюда получим: , .
Решим систему уравнений:
.
Таким образом, , при , при . Т.е. и при и при совпадают, и различные корни будут только при . Таким образом, решение уравнения можно записать ,. Это решение имеет различных значений, которые лежат на окружности радиуса и делят её на равных частей, каждая из которых получается поворотом на против часовой стрелки относительно .
Замечание. Обозначение не имеет однозначного смысла, поэтому лучше его избегать.
Пример. Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни уравнения .
Решение:
Сначала число представим в тригонометрической форме: ,
,
.
Тогда , . : ;
: ;
: ;
: .
Заметим, все корни лежат на окружности радиуса .